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Vidéo de question : Détermination de l’ensemble image d’une fonction définie par morceaux, étant donné sa représentation graphique Mathématiques

Déterminez l’ensemble image de la fonction 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 5 si 𝑥 ∈ [−5, −1] et 𝑓(𝑥) = −𝑥 + 3 si 𝑥 ∈ (−1, 3].

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Transcription de vidéo

Déterminez l’ensemble image de la fonction 𝑓 de 𝑥 égale à 𝑥 plus cinq si 𝑥 est dans l’intervalle fermé de moins cinq à moins un et 𝑓 de 𝑥 égale à moins 𝑥 plus trois si 𝑥 est dans l’intervalle gauche-ouvert droite-fermé de moins un à trois.

Dans cette question, on nous demande de trouver l’ensemble image d’une fonction donnée définie par morceaux. Et nous pouvons commencer par rappeler que l’ensemble image d’une fonction est l’ensemble de toutes les valeurs de sortie de cette fonction étant donné l’ensemble de définition de cette fonction, ou l’ensemble des valeurs d’entrée. Et nous nous souvenons que lorsque nous représentons graphiquement une fonction, la coordonnée 𝑦 de tout point sur la courbe représente la valeur de sortie de cette fonction pour une valeur d’entrée 𝑥 donnée. Par exemple, comme notre fonction passe par le point moins un, quatre, nous savons que 𝑓 déterminée en moins un est égale à quatre. Quatre est une valeur de sortie possible de notre fonction. Nous pouvons même le confirmer à partir de notre définition par morceaux de 𝑓 de 𝑥.

Nous pouvons voir que moins un appartient au premier sous-ensemble de définition de notre fonction. Ainsi, lorsque nous déterminons la valeur de 𝑓 en moins un, nous obtenons moins un plus cinq, ce qui est égal à quatre. Nous voulons trouver toutes les valeurs de sortie possibles de cette fonction. Nous pouvons voir sur le graphique que la valeur de sortie la plus élevée possible est quatre. De même, nous pouvons trouver la plus petite valeur de sortie possible de notre fonction. La plus petite valeur de sortie possible de notre fonction est zéro, ce qui mérite d’être souligné, car notre graphique n’a pas de points creux aux extrémités de chaque côté, ce qui confirme que notre fonction est définie lorsque 𝑥 est égal à moins cinq et lorsque 𝑥 est égal à trois. Nous pouvons également le voir à partir des sous-ensembles de définition de notre fonction.

Ainsi, la valeur de sortie la plus élevée de notre fonction est quatre, et la valeur de sortie la plus basse de notre fonction est zéro. Et nous pouvons voir qu’il y a des valeurs de 𝑥 pour chaque valeur d’entrée entre les deux. Et l’ensemble de toutes les valeurs de zéro à quatre, y compris les extrémités, est l’intervalle fermé de zéro à quatre. Par conséquent, nous avons pu montrer que l’ensemble image de la fonction 𝑓 de 𝑥 égale à 𝑥 plus cinq si 𝑥 est dans l’intervalle fermé de moins cinq à moins un et 𝑓 de 𝑥 égale à moins 𝑥 plus trois si 𝑥 est dans l’intervalle gauche-ouvert droite-fermé de moins un à trois est l’intervalle fermé de zéro à quatre.

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