Transcription de la vidéo
Dans cette vidéo, nous allons apprendre à identifier et modéliser des notions géométriques telles que les points, les droites et les plans dans l’espace. Nous examinerons également leurs propriétés, ainsi que leur interaction entre elles. Commençons donc par comprendre exactement comment nous pouvons définir ces trois objets.
En géométrie, un point est un emplacement dans l’espace. Il n’a ni de forme ni de taille. Cependant, lorsque nous travaillons avec le concept d’un point, nous devons le représenter d’une manière ou d’une autre. Et donc nous le représentons par un point, et généralement on lui donne une lettre comme nom. Nous pouvons alors aller plus loin et dire que nous pouvons prendre n’importe quel point dans l’espace. Nous pouvons relier ces deux points avec exactement une droite entre ces points. Cela nous permet de définir une droite comme un ensemble de points reliés qui s’étend à l’infini dans deux sens.
Nous pouvons définir cette droite qui relie 𝐴 et 𝐵 de plusieurs façons, par exemple, la droite 𝐴𝐵 avec une flèche à deux extrémités sur les lettres, la droite 𝐵𝐴, ou en utilisant les mots «droite 𝐴𝐵» ou «droite 𝐵𝐴», ou même en définissant la droite par une seule lettre, telle que la droite 𝐿. Notez que la distance entre deux points sur une droite s’appelle un segment. Cela nous amène ensuite à la troisième définition importante pour cette vidéo, les plans.
Un plan est une surface bidimensionnelle qui s’étend à l’infini dans toutes les directions. Nous modélisons généralement un plan comme celui-ci. Et la propriété de définition d’un plan nous aide également à nommer les plans. Il existe exactement un plan à travers trois points non colinéaires. Cela signifie que si les points 𝐴, 𝐵 et 𝐶 se trouvent sur un plan, nous pouvons définir le plan comme étant un plan 𝐴𝐵𝐶 ou même un plan 𝐵𝐴𝐶 ou un plan 𝐶𝐵𝐴. Ou juste comme nous l’avons fait avec une droite, nous pouvons définir le plan avec une seule lettre, par exemple, le plan 𝐾.
Nous allons maintenant voir un exemple où nous identifions et définissons les plans qui passent par deux points donnés.
Trouvez trois plans qui passent par les deux points 𝐴 et 𝐵.
Observons que les points 𝐴 et 𝐵 se trouvent à la base de ce diagramme. Les plans qui passent par les deux points 𝐴 et 𝐵 seront les plans qui passent par la droite 𝐴𝐵. Nous devons rappeler qu’il existe exactement un plan à travers trois points non colinéaires. Remarquez comment nous utilisons le mot « non colinéaire » . Si les trois points étaient colinéaires, ils se trouveraient sur une droite. Et il y aurait un nombre infini de plans passant par trois points colinéaires.
Ainsi, afin de trouver un plan passant par 𝐴 et 𝐵, nous devons trouver un autre point qui ne se trouve pas sur cette droite, qui pourrait définir un plan. Prenons le point 𝐶 et visualisons le plan qui passerait par 𝐴, 𝐵 et 𝐶. Cela ressemblerait à quelque chose comme ça. Et donc l’un des plans que nous recherchons est en fait un qui contient l’une des faces de ce prisme.
Une façon de définir un plan consiste à utiliser trois points que nous savons qu’ils sont situés sur le plan. On pourrait donc appeler ce plan le plan 𝐴𝐵𝐶 ou le plan 𝐴𝐶𝐵. Cependant, le plan 𝐴𝐵𝐷 fonctionnerait également.
Voyons maintenant si nous pouvons trouver un autre plan qui passe par 𝐴 et 𝐵. Nous pouvons le faire en trouvant un autre point. Utilisons donc le point 𝐵 prime. Puisque nous savons que 𝐵 prime n’est pas colinéaire avec 𝐴 et 𝐵, nous pouvons alors créer un autre plan. Nous pouvons définir ce plan comme le plan 𝐴𝐵𝐵 prime. Nous savons que nous recherchons trois plans passant par 𝐴 et 𝐵. Voyons donc si nous pouvons trouver le troisième plan.
Maintenant, il pourrait être tentant de penser que lorsque nous avons trouvé un plan sur la base du prisme et un sur le côté du prisme, il y a peut-être un autre plan passant par 𝐴 et 𝐵 de l’un des autres côtés du prisme. Peut-être y en aura-t-il un à l’arrière du prisme. Cependant, si nous visualisons un plan ici, il contient les points 𝐴, 𝐴 prime, 𝐷 et 𝐷 prime, mais il ne contient pas le point 𝐵. Donc, cela ne fonctionnerait pas.
En fait, le troisième plan contenant les points 𝐴 et 𝐵 ressemblera à ceci. Ce plan contient les points 𝐴 et 𝐵 et 𝐶 prime et 𝐷 prime. Nous pourrions donc le définir comme le plan 𝐴𝐵𝐶 prime, bien qu’il soit tout aussi valable de le désigner comme le plan 𝐴𝐵𝐷 prime. Par conséquent, nous pouvons donner la réponse que les trois plans passant par les points 𝐴 et 𝐵 sont les plans 𝐴𝐵𝐶, 𝐴𝐵𝐵 prime et 𝐴𝐵𝐶 prime.
Jusqu’à présent, nous avons couvert exactement ce que ne nous entendons par points, droites et plans dans l’espace. Maintenant, réfléchissons à la façon dont ceux-ci interagissent dans l’espace.
Quand il s’agit de deux droites dans l’espace, il existe trois relations possibles entre ces droites, qui peuvent être déterminées par le fait que les droites se croisent ou non.
Tout d’abord, pensons à deux droites coplanaires, ce qui signifie qu’elles se trouvent sur le même plan. Voici deux droites qui se trouvent sur le même plan et qui se croisent. En outre, si elles se croisent à angle droit, on pourrait dire que les droites se croisent orthogonalement. Nous pouvons également avoir deux droites qui sont coplanaires et qui ne se croisent pas, auquel cas ces droites devraient être parallèles. Elles ne se rencontreront jamais.
Maintenant, nous sommes habitués à avoir deux types de relations entre les droites : celles qui se croisent et celles qui ne se croisent pas. Cependant, dans l’espace, il existe une autre option. Ces types de droites seront non coplanaires et non intersectées. Elles peuvent être modélisées comme ça. Ces deux droites, ℎ et 𝑔, sont appelées droites non coplanaires. Ce sont des droites non coplanaires qui ne se croisent pas car la droite ℎ apparaît dans un plan verticalement plus élevé que la droite 𝑔. On ne peut pas non plus dire qu’elles sont parallèles, car en certains points la droite 𝑔 est plus proche de la droite ℎ qu’en d’autres points. Notez que les droites non coplanaires ne peuvent exister qu’en trois dimensions.
Donc, maintenant que nous avons examiné comment deux droites interagissent dans l’espace, examinons comment une droite et un plan pourraient interagir. Encore une fois, nous avons trois façons différentes dont une droite et un plan peuvent interagir dans l’espace. La première consiste à ce que tous les points de la droite se trouvent également dans le plan. Le deuxième type de relation qu’une droite et un plan peuvent avoir est qu’ils se croisent, auquel cas le point d’intersection est un point commun partagé qui se trouve sur les deux. Si la droite est perpendiculaire au plan, alors on peut dire que la droite et le plan se croisent orthogonalement.
Cela nous amène au dernier type d’interaction, lorsque la droite et le plan ne se croisent pas. Mais bien sûr, comme la droite et le plan s’étendent à l’infini dans les deux sens, il n’y a qu’un seul moyen pour qu’une droite et un plan ne puissent pas se croiser. Et c’est si la droite et le plan sont parallèles.
Nous allons maintenant voir le dernier ensemble d’interactions possibles, qui se trouve entre deux plans de l’espace. Tout comme nous l’avons vu dans les précédentes interactions géométriques, il existe trois relations possibles entre deux plans. Premièrement, si les deux plans partagent tous les points, alors nous disons qu’ils coïncident. Deuxièmement, nous pouvons avoir des plans qui se croisent. Nous pourrions modéliser des plans sécants comme celui-ci. Comme le montre la figure inférieure, nous pouvons également avoir deux plans qui se croisent orthogonalement.
Notez que lorsque deux plans se croisent, l’intersection est toujours une droite. Et bien sûr, nous pouvons avoir des plans qui ne se croisent pas. Si deux plans ne se croisent pas, ils doivent être parallèles. Comme une dernière note sur les plans qui se croisent, nous venons de considérer l’intersection de deux plans. Mais si trois plans se croisent, alors ils peuvent partager un point commun.
Nous allons maintenant voir un exemple où nous devons identifier la relation entre une droite donnée et un plan.
Observez la figure donnée et choisissez l’affirmation correcte. Option (A) la droite est parallèle au plan. Option (B) la droite est contenue dans le plan. Ou l’option (C) la droite coupe le plan.
Sur la figure, nous pouvons observer que nous avons un plan, défini comme 𝑋, et une droite, définie avec la lettre 𝐿. La droite et le plan s’étendront à l’infini dans toutes les directions. Nous pouvons également voir qu’il y a un point 𝐴 qui se trouve sur le plan. Notez que le point 𝐴 se trouve également sur la droite. Ensuite, comme le plan et la droite ont un point commun 𝐴, on peut dire que la droite 𝐿 coupe le plan. Par conséquent, l’affirmation correcte est celle donnée dans l’option (C). La droite coupe le plan.
Mais avant de terminer cette question, il pourrait être utile de considérer à quoi ressembleraient les deux autres options de réponse sur un diagramme. L’option (A) donne une déclaration sur une droite parallèle à un plan. Une droite parallèle à un plan peut être modélisée comme suit. Rappelez-vous qu’une droite et un plan qui sont parallèles ne se couperont jamais. Mais nous savons que sur la figure qui nous a été donnée, la droite et le plan se croisent au point 𝐴. Ainsi, l’affirmation donnée dans l’option de réponse (A) est fausse.
Dans l’option (B), nous considérons l’affirmation selon laquelle la droite est contenue dans le plan. Une droite contenue dans un plan peut ressembler à ceci. Lorsqu’une droite est contenue dans un plan, chaque point de la droite se trouve également sur le plan. Et c’est à ce stade que nous pouvons noter que la façon dont le diagramme d’origine a été dessiné est très importante. La section en pointillés de la droite 𝐿 indique que tous les points de la droite ne sont pas contenus dans le plan 𝑋. Par conséquent, l’affirmation correcte est que la droite coupe le plan.
Nous pouvons maintenant résumer les points clés de cette vidéo. Nous avons commencé par définir qu’un point est un emplacement dans l’espace. Il n’a ni de forme ni de taille. Ensuite, une droite est un ensemble de points reliés qui s’étend à l’infini dans deux sens. Un plan peut être défini par trois points non colinéaires ou par deux droites parallèles ou deux droites qui se croisent. Nous disons qu’un ensemble de points est coplanaire s’ils se trouvent sur le même plan. Si ce n’est pas le cas, on dit qu’ils ne sont pas coplanaires.
Pour deux droites coplanaires, les relations possibles sont parallèles, intersectées d’un angle ou perpendiculaires. Pour deux droites dans l’espace, les relations possibles sont parallèles, se coupant avec un angle, perpendiculaires ou non coplanaires. Pour une droite et un plan dans l’espace, les relations possibles sont se coupant avec n’importe quel angle, perpendiculaire, incluse dans le plan ou parallèle au plan.
Enfin, nous avons vu que deux plans peuvent avoir les configurations suivantes. Ils peuvent être confondus, parallèles, se croisant en une droite avec n’importe quel angle ou perpendiculaires. Mais si nous considérons trois plans et pas seulement deux, ils peuvent se croiser en un point, pas en ligne droite.
