Le portail a été désactivé. Veuillez contacter l'administrateur de votre portail.

Vidéo de question : Analyse de l’équilibre d’une barre uniforme libre de tourner autour d’un clou avec un couple agissant sur ses extrémités Mathématiques

Soit 𝐴𝐵 une barre homogène de longueur 6 cm. Elle tourne librement autour d'un clou lisse dans un petit trou dans la barre, en le point 𝐶 entre 𝐴 et 𝐵, où 𝐴𝐶 = 2 cm. La barre, posée horizontalement, est en équilibre sous l'action de deux forces dont l'intensité de chacune est de 8 N, agissant en chacune des deux extrémités et formant un angle de 30° avec la barre comme montré sur la figure. Déterminez le poids de la barre 𝑊 et l’intensité de la réaction du clou 𝑅.

05:22

Transcription de vidéo

𝐴𝐵 est une barre uniforme de six centimètres de longueur. Elle est libre de tourner autour d’un clou lisse dans un petit trou de la barre en un point 𝐶 compris entre 𝐴 et 𝐵, où 𝐴𝐶 égale deux centimètres. La barre est en équilibre, posée horizontalement, sous l’action de deux forces de huit newtons chacune, agissant à chaque extrémité à un angle de 30 degrés avec la barre, comme le montre la figure ci-dessous. Trouvez le poids de la barre 𝑊 et l’intensité de la réaction du clou 𝑅.

Comme la barre est en équilibre, on sait que la somme des forces dans la direction horizontale 𝑥 est égale à zéro et que la somme des forces dans la direction verticale 𝑦 est également égale à zéro. La somme des moments de forces autour de n’importe quel point de la barre sera également égale à zéro. On prend les sens positifs comme horizontalement à droite, verticalement vers le haut et dans le sens antihoraire lorsqu’on calcule les moments de forces autour d’un point. On a une force de réaction 𝑅 agissant verticalement vers le haut au point 𝐶. Comme la barre est uniforme, son poids agit verticalement vers le bas au centre de masse de la barre. On va appeler ce point 𝑚 car c’est bien le milieu de la barre et il se trouve à trois centimètres de 𝐴.

Les deux forces agissant sur 𝐴 et 𝐵 forment un couple coplanaire. Cela signifie qu’ils sont de même intensité, dans ce cas, huit newtons, mais agissent dans des sens opposés. Cela signifie que lors de la résolution sur la verticale et l’horizontale, les deux forces s’annulent. On va libérer de l’espace afin de pouvoir écrire nos équations. On commence par la solution dans la direction verticale. Pour ce faire, on doit calculer la composante verticale des deux forces de huit newtons. On va le faire en utilisant nos connaissances de trigonométrie. On sait que le sin de l’angle 𝜃 est égal au côté opposé sur l’hypoténuse.

La force verticale au point 𝐴, marqué 𝑥, satisfait l’équation sin de 30 degrés est égale à 𝑥 sur huit. On sait que le sin de 30 degrés est égal à un demi. La multiplication des deux côtés de cette équation par huit nous donne 𝑥 est égal à quatre. La force verticale vers le bas au point 𝐴 est égale à quatre newtons. On a une équation pareille pour le point 𝐵. Cette fois, le sin de 30 degrés est égal à 𝑦 sur huit. 𝑦 est aussi égal à quatre newtons. Il y a une force agissant verticalement vers le haut au point 𝐵 égale à quatre newtons. On a quatre forces agissant dans la direction verticale. Comme la somme de ces forces doit être égale à zéro et le sens positif est vers le haut, on obtient moins quatre plus 𝑅 moins 𝑊 plus quatre est égal à zéro.

Comme mentionné précédemment, les forces du couple coplanaire vont s’annuler. En ajoutant 𝑊 des deux côtés, on voit que 𝑅 est égal à 𝑊. La force de réaction en 𝑅 et la force de poids en 𝑚 constituent un autre couple coplanaire car elles aussi sont de même intensité et de sens opposés. On va ensuite calculer les moments de forces par rapport à un point sur la barre. Et dans ce cas, on va choisir le point 𝐴. On sait que la somme des moments sera égale à zéro et que les moments agissant dans le sens inverse des aiguilles d’une montre sont positifs selon notre convention. Le moment de chaque force est égal à la force multipliée par la distance perpendiculaire. On commence par la force 𝑅. Le moment ici est égal à 𝑅 multiplié par deux centimètres.

Ensuite, on a la force de poids. Le moment ici est égal à 𝑊 multiplié par trois. C’est négatif car elle se déplace dans le sens des aiguilles d’une montre. Enfin, on a la force de quatre newtons multipliée par six centimètres dans le sens positif. La somme de ces trois moments est égale à zéro. Cela signifie que l’équation simplifie à deux 𝑅 moins trois 𝑊 plus 24 est égal à zéro. Comme 𝑅 est égal à 𝑊, cela peut être réécrit comme deux 𝑊 moins trois 𝑊 plus 24 est égal à zéro. En simplifiant ces termes, nous donne moins 𝑊 plus 24 est égal à zéro.

Finalement, en ajoutant 𝑊 des deux côtés nous donne 𝑊 est égal à 24. Le poids de la barre est égal à 24 newtons, et l’intensité de la réaction du clou 𝑅 est également de 24 newtons.

Nagwa utilise des cookies pour vous garantir la meilleure expérience sur notre site. En savoir plus sur notre Politique de Confidentialité.