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Vidéo de question : Déterminer l’ensemble de définition et l’ensemble image d’une fonction rationnelle sachant sa représentation graphique Mathématiques

Déterminez l’ensemble de définition et l’ensemble image de la fonction 𝑓 (𝑥) = - (1 / (𝑥 - 5)).

07:45

Transcription de vidéo

Trouvez l’ensemble de définition et l’ensemble image de la fonction 𝑓 de 𝑥 est égal à moins un sur 𝑥 moins cinq.

On nous donne également un graphique de 𝑓 de 𝑥 : nous allons voir comment l’ensemble de définition et l’ensemble image d’une fonction sont liés à sa représentation graphique et comment dans certains cas, nous pouvons simplement lire l’ensemble de définition et l’ensemble image de notre fonction à partir de son graphique. Nous devions trouver à la fois l’ensemble de définition et l’ensemble image de la fonction, mais commençons par l’ensemble de définition pour le moment et rappelons la définition de l’ensemble de définition.

L’ensemble de définition est un ensemble d’entrées pour la fonction 𝑓 de 𝑥. Nous travaillons sur des fonctions avec des graphiques, donc l’entrée de la fonction doit certainement être un nombre réel. Ainsi, l’ensemble de définition est un sous-ensemble des nombres réels. Puisque rien d’autre n’est indiqué sur l’ensemble de définition de la fonction, nous supposons que nous devons le rendre aussi grand que possible dans l’ensemble des nombres réels.

Nous ne pouvons pas simplement définir l’ensemble de définition comme étant égal à l’ensemble des nombres réels. La fonction doit être définie pour chaque élément de son ensemble de définition. Ainsi, il faut partir de l’ensemble des nombres réels, puis supprimer toutes les valeurs de 𝑥 pour lesquelles la fonction 𝑓 de 𝑥 est indéfinie.

En regardant la définition des fonctions, pouvez-vous voir comment la valeur de 𝑓 de 𝑥 pourrait être indéfinie? Bien, une façon pour que cela se produise consisterait à diviser par zéro. Ainsi, la fonction 𝑓 de 𝑥 est certainement indéfinie lorsque le dénominateur de la fonction 𝑥 moins cinq est égal à zéro. Cela se produit lorsque 𝑥 est égal à cinq.

En regardant le graphique un instant, nous pouvons voir que quelque chose de spécial se produit lorsque 𝑥 est égal à cinq. Nous avons une asymptote verticale sur le graphique. En regardant cette asymptote de premier ordre, même sans connaître l’équation qui définit la fonction, vous verriez que la fonction n’est pas définie pour cette valeur de 𝑥, car toute tentative de lecture de la valeur de la fonction en ce point échouerait.

Y a-t-il d’autres valeurs de 𝑥 pour lesquelles la fonction n’est pas définie? En regardant le graphique, nous ne voyons plus d’autres asymptotes verticales. Nous ne pouvons pas voir non plus de cercles creux sur le graphique qui représenteraient un point pour lequel la fonction est indéfinie. De plus, si nous imaginons le déplacement d’une droite verticale le long de l’axe des abscisses de moins ∞ à plus ∞, la seule valeur de 𝑥 pour laquelle cette droite ne coupe pas la représentation graphique de la fonction est la valeur de 𝑥 que nous avons déjà trouvée, 𝑥 égale cinq. Ainsi, cet ensemble de 𝑥 pour lequel 𝑓 de 𝑥 est indéfinie n’est que l’ensemble de cinq. Nous concluons que l’ensemble de définition de notre fonction n’est que l’ensemble des nombres réels moins l’ensemble constitué de l’élément cinq.

Maintenant que nous avons trouvé l’ensemble de définition de la fonction, nous devons libérer de l’espace afin de trouver l’ensemble image de la fonction. L’ensemble image d’une fonction est l’ensemble des sorties de cette fonction. Puisque nous examinons un graphique, nous savons que ce sera un sous-ensemble de l’ensemble des nombres réels, peut-être même tout l’ensemble des nombres réels. Nous ne savons pas encore. Nous pouvons utiliser le graphique pour nous aider.

Supposons que vous vouliez montrer que quatre est dans l’ensemble image. Bien, cela signifie trouver un point sur le graphique dont la coordonnée 𝑦 est quatre. Pour trouver un tel point, s’il existe, on trace la droite d’équation 𝑦 égale quatre et on cherche des intersections avec le graphique. Nous voyons qu’il y a une intersection. Ainsi, il y a une valeur de 𝑥 juste à gauche de cinq qui, lorsque vous l’insérez dans la fonction 𝑓 de 𝑥, donne une valeur de sortie ou une valeur 𝑦 de quatre. Par conséquent, quatre est dans l’ensemble image.

Nous pouvons imaginer que cette droite horizontale, dont l’équation est actuellement égale à 𝑦 égale quatre, se déplace vers le haut et le bas de l’axe des ordonnées. Les valeurs de 𝑦 pour lesquelles cette droite coupe la représentation graphique sont dans l’ensemble image et les valeurs de 𝑦 pour lesquelles cette droite ne coupe pas la représentation graphique ne sont pas dans l’ensemble image.

Nous pouvons voir que l’axe des abscisses avec l’équation 𝑦 égale zéro ne coupe le graphique en aucun point, et que donc zéro n’est pas dans l’ensemble image. Cependant, pour toutes les autres valeurs de 𝑦, cette droite coupe le graphique en un point donné et l’ensemble image est donc l’ensemble des nombres réels en dehors de cette valeur nulle. Nous avons donc trouvé notre réponse finale que l’ensemble de définition est l’ensemble des nombres réels moins l’ensemble constitué de l’élément cinq, c’est-à-dire l’ensemble de tous les nombres réels à l’exception de cinq, et l’ensemble image est l’ensemble des nombres réels moins l’ensemble constitué de l’élément zéro, c’est-à-dire l’ensemble de tous les nombres réels qui ne sont pas nuls.

Vous pouvez également voir cela écrit en utilisant une barre oblique inversée au lieu d’un signe moins. Cela signifie exactement la même chose. Il ne s’agit que des nombres réels moins l’ensemble de cinq ou des nombres réels moins l’ensemble de zéro. Le symbole barre oblique inversée est utilisé dans le contexte des ensembles pour éviter toute confusion avec la soustraction normale de nombres.

Vous avez peut-être été en mesure de déterminer l’ensemble de définition et l’ensemble image de cette fonction en la considérant comme étant une transformation de la fonction inverse 𝑓 de 𝑥 égale un sur 𝑥. Rappelons que nous avons constaté que l’ensemble de définition de la fonction n’est que l’ensemble des nombres réels moins l’ensemble des valeurs de 𝑥 pour lesquelles le dénominateur de la fonction était zéro. Ceci est un fait général sur les fonctions rationnelles, qui sont des fonctions sous la forme de fractions où le numérateur et le dénominateur sont à la fois un polynôme. Dans ce cas, l’ensemble de définition de la fonction rationnelle en question n’est que l’ensemble des nombres réels moins l’ensemble des zéros de ce polynôme au dénominateur. Nous avons trouvé l’ensemble image en utilisant des méthodes graphiques, en imaginant une droite horizontale se déplaçant vers le haut et le bas de l’axe des ordonnées. Cependant, nous pouvons le trouver en utilisant des méthodes algébriques. Le reste de la vidéo sera consacré à cette méthode. Si vous êtes satisfait de la méthode graphique, n’hésitez pas à passer cette partie.

Quelles sont les valeurs de 𝐾 dans l’ensemble image ? Bien, ce sont des valeurs qui sont des valeurs de sortie de la fonction et sont donc égales à moins un sur 𝑥 moins cinq pour une valeur d’entrée 𝑥. Ainsi, pour montrer qu’une valeur de 𝐾 est dans l’ensemble image, nous devons montrer qu’il y a une valeur de 𝑥 pour laquelle 𝐾 égale moins un sur 𝑥 moins cinq. Nous pouvons montrer qu’il existe une telle valeur de 𝑥 en trouvant une formule pour 𝑥 en fonction de 𝐾.

Notre objectif est donc de réarranger cette équation pour isoler 𝑥. Nous multiplions les deux côtés par 𝑥 moins cinq, puis nous divisons les deux membres par 𝐾 pour obtenir 𝑥 moins cinq égal à moins un sur 𝐾. En ajoutant cinq aux deux membres, nous pouvons voir que 𝑥 est égal à cinq moins un sur 𝐾. Ainsi, lorsque cette valeur de 𝑥 est une valeur d’entrée dans la fonction, nous obtenons une valeur de sortie de 𝐾.

Par exemple, si nous voulions montrer que moins 17 est dans l’ensemble image, nous substituons simplement cette valeur dans 𝐾. Ainsi, 𝑥 est égal à cinq moins un sur moins 17, ce qui est égal à 86 sur 17. Si vous remplacez cela dans notre fonction, nous constatons que nous avons 𝑓 de 86 sur 17 qui, après la substitution, correspond à moins un sur 86 sur 17 moins cinq, ce qui se simplifie en moins 17. Ainsi, clairement, moins 17 est une valeur de sortie de la fonction et est donc dans l’ensemble image. De même, nous pourrions montrer que tout autre nombre se situe dans l’ensemble image, sauf, bien sûr, 𝐾 est égal à zéro.

Nous ne pouvons pas avoir 𝐾 égal à zéro parce que nous avons ce terme en un sur 𝐾, donc nous ne pouvons pas trouver une valeur d’entrée de 𝑥 qui nous donnera une valeur de sortie de 𝐾 égale à zéro. Ainsi, zéro n’est pas dans l’ensemble image. C’est la seule valeur réelle de 𝐾 pour laquelle nous avons ce problème. Nous pouvons donc voir que l’ensemble image est, comme nous l’avons vu graphiquement, juste l’ensemble des nombres réels moins l’ensemble de zéro.

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