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Vidéo de question : L’aire sous une courbe comme intégrale Mathématiques

Les courbes illustrées sont 𝑦 = 1/𝑥 et 𝑦 = 1/𝑥². Quelle est l’aire de la région colorée ? Donnez une réponse exacte.

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Transcription de vidéo

Les courbes illustrées ont pour équations 𝑦 égale un sur 𝑥 et 𝑦 égale un sur 𝑥 au carré. Quelle est l’aire de la région colorée? Donnez une réponse exacte.

Rappelons que l’aire 𝐴 d’une région délimitée par les courbes d’équations 𝑦 égale 𝑓 de 𝑥, 𝑦 égale 𝑔 de 𝑥 et les droites verticales 𝑥 égale 𝑎 et 𝑥 égale 𝑏. Où 𝑓 et 𝑔 sont des fonctions continues. Où 𝑓 de 𝑥 est supérieure ou égale à 𝑔 de 𝑥 sur tout l’intervalle fermé 𝑎, 𝑏. Est donnée par l’intégrale définie entre 𝑎 et 𝑏 de 𝑓 de 𝑥 moins 𝑔 de 𝑥 par rapport à 𝑥. Il va donc falloir définir très soigneusement les fonctions 𝑓 de 𝑥 et 𝑔 de 𝑥. Ainsi que les valeurs de 𝑎 et 𝑏, afin que 𝑓 de 𝑥 soit supérieure ou égale à 𝑔 de 𝑥 sur cet intervalle fermé 𝑎 à 𝑏.

Les droites d’équations 𝑥 égale 𝑎 et 𝑥 égale 𝑏 délimitent le début et la fin de la région colorée. En ajoutant ces droites verticales sur le graphique, on voit qu’elles ont pour équations 𝑥 égale 0,5 et 𝑥 égale un, respectivement. Et on en déduit que 𝑎 est égal à 0,5 et 𝑏 est égal à un dans cet exemple. Sur l’intervalle fermé 0,5 à un, on voit que la fonction qui est au-dessus est la fonction définie par la courbe rouge. S’agit-il de la fonction un sur 𝑥 ou un sur 𝑥 au carré? On peut penser que c’est vraisemblablement un sur 𝑥 au carré. Mais vérifions en choisissant un couple de coordonnées et en utilisant ces valeurs.

On voit que la courbe rouge passe par le point de coordonnées 0,5, quatre. Donc, remplaçons 𝑥 par 0,5 dans l’équation 𝑦 égale un sur 𝑥 au carré. On obtient alors 𝑦 égale un sur 0,5 au carré. Et 0,5 au carré égale 0,25. Et un divisé par 0,25 égale quatre, comme prévu. Ainsi, la courbe rouge a pour équation 𝑦 égale un sur 𝑥 au carré. Alors, on choisit 𝑓 de 𝑥 égale un sur 𝑥 au carré, et donc 𝑔 de 𝑥 égale un sur 𝑥.

L’aire de la région colorée est donc égale à l’intégrale définie de un sur 𝑥 au carré moins un sur 𝑥, évaluée entre 0,5 et un. Il ne reste donc qu’à calculer cette intégrale définie. Mais c’est un peu plus facile en réécrivant un sur 𝑥 au carré comme 𝑥 puissance moins deux, puis en rappelant quelques résultats standard. Pour intégrer 𝑥 puissance moins deux, on ajoute un à l’exposant puis on divise par ce nouveau nombre. Donc, c’est 𝑥 puissance moins un divisé par moins un, soit moins un sur 𝑥. L’intégrale de un sur 𝑥 est quant à elle égale au logarithme népérien de la valeur absolue de 𝑥.

Ainsi, l’aire est donc égale à moins un sur 𝑥 moins le logarithme népérien de la valeur absolue de 𝑥, entre 0,5 et un. Nous allons maintenant remplacer ces bornes. Ce qui donne moins un sur un moins le logarithme népérien de un moins moins un sur 0,5 moins le logarithme népérien de 0,5. Notez que, comme un et 0,5 sont déjà positifs, je n’ai pas inclus le symbole de valeur absolue dans cette partie de la solution. Le logarithme népérien de un vaut zéro. Donc, ça devient moins un moins zéro moins moins deux moins le logarithme népérien de un demi.

Rappelez-vous qu’on cherche une réponse exacte. Il faut donc trouver comment simplifier ce logarithme népérien de un demi. Mais commençons par développer les parenthèses. On se retrouve avec moins un plus deux plus le logarithme népérien de un demi, soit un plus le logarithme népérien de un demi. Il est très important de savoir repérer quand un terme logarithmique se simplifie. On va écrire un demi comme deux puissance moins un. Puis, utiliser le fait que le logarithme népérien de 𝑎 puissance 𝑏 est égal à 𝑏 fois le logarithme népérien de 𝑎. Et, on obtient que l’aire de la région colorée est égale à un moins le logarithme népérien de deux unités carrées.

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