Transcription de la vidéo
Sur le graphique suivant, laquelle des courbes montre correctement comment la vitesse linéaire d’un objet en rotation varie avec le rayon de la trajectoire circulaire suivie par l’objet ? Supposez que la force centripète agissant sur l’objet soit la même pour n’importe quel rayon de la trajectoire circulaire. Est-ce (A) la courbe rouge, (B) la courbe grise, (C) la courbe bleue ou (D) la courbe orange?
Nous voyons ces quatre courbe colorées sur notre graphique, qui nous montre la vitesse linéaire de notre objet en mouvement par rapport au rayon de la trajectoire circulaire de cet objet. Libérons de l’espace maintenant afin de pouvoir esquisser à quoi cela pourrait ressembler. Disons que nous avons une trajectoire circulaire comme celle-ci. Si un objet suit cette trajectoire, alors à tout instant, nous pourrions dessiner sa vitesse linéaire ; nous l’appellerons 𝑣. Et nous pourrions également tracer la distance radiale de cet objet par rapport au centre de la trajectoire circulaire ; nous l’appellerons 𝑟. Notre graphique relie la vitesse linéaire, que nous avons appelé 𝑣, au rayon 𝑟.
Maintenant, si au lieu de cette première trajectoire circulaire, notre objet se déplaçait sur cette deuxième ? En raison de cette modification, le rayon du cercle autour duquel l’objet se déplace a augmenté. Et nous voulons choisir laquelle des quatre courbes sur notre graphique nous montre comment la vitesse linéaire 𝑣 varie avec 𝑟. Un indice pour nous aider à comprendre cela se trouve dans cette affirmation ici ; nous supposons que la force centripète qui agit sur l’objet est la même, quel que soit le rayon de la trajectoire circulaire selon laquelle il se déplace. Pour un objet comme celui que nous avons ici et qui se déplace suivant un cercle de rayon 𝑟 à une vitesse linéaire 𝑣, la force qui agit sur cet objet, appelée force centripète, est d’après la deuxième loi de Newton égale à la masse de cet objet fois son accélération centripète.
L’accélération centripète, 𝑎 indice 𝑐, peut être écrite de différentes manières. Une façon de l’écrire implique la vitesse linéaire 𝑣 de l’objet se déplaçant suivant un cercle et le rayon 𝑟 de la trajectoire circulaire de cet objet. En utilisant cette expression pour 𝑎 indice 𝑐, nous pouvons l’introduire dans notre expression de la force centripète, 𝐹 indice 𝑐. Et nous avons maintenant une équation pour la force centripète en fonction de la vitesse linéaire 𝑣 et du rayon 𝑟 de la trajectoire circulaire de l’objet.
Alors, on nous dit que la force centripète qui agit sur notre objet est la même, quel que soit le rayon du cercle autour duquel cet objet se déplace. Ce que nous pouvons écrire alors, c’est que la force centripète qui agit sur notre objet en rotation est égale à une constante que nous appellerons 𝑐. Autrement dit, quelle que soit la valeur de 𝑟, cette valeur est combinée avec 𝑣 au carré, de sorte que cette fraction est une valeur constante. Si nous multiplions cette fraction par la masse de l’objet, qui est également constante, nous obtenons la constante que nous avons appelée 𝑐.
Concentrons-nous maintenant sur cette partie de notre équation. Disons que nous divisons les deux côtés de cette équation par la masse de l’objet 𝑚. Nous voyons que la masse s’annulera à gauche, et à droite nous avons notre constante 𝑐 divisée par une valeur constante 𝑚. Une constante divisée par une constante est simplement une constante. Et appelons cette nouvelle constante 𝑘. Dans cette équation, nous avons la vitesse linéaire 𝑣, qui varie avec 𝑟, nous avons 𝑟, que nous savons peut varier, et nous avons notre constante 𝑘. Si nous multiplions les deux côtés de notre équation par le rayon 𝑟, alors 𝑟 s’annule à gauche. Nous avons que 𝑣 au carré est égal à une constante fois 𝑟. Et cela signifie que nous sommes très proches d’obtenir une équation pour la vitesse linéaire 𝑣 en fonction du rayon 𝑟.
Si nous prenons la racine carrée des deux côtés de cette expression, alors la racine carrée et le carré de gauche s’annulent. Sur le côté droit, nous avons la racine carrée d’une constante, qui est aussi une constante, multipliée par la racine carrée de 𝑟. Alors, voici ce que nous pouvons enfin dire. La vitesse linéaire 𝑣 de notre objet lorsqu’il se déplace suivant une trajectoire circulaire est directement proportionnelle à la racine carrée du rayon de cette trajectoire circulaire. Cela signifie que parmi les quatre courbes, celle à choisir aura la même forme que la droite 𝑦 égale la racine carrée de 𝑥.
Ici, la valeur sur notre axe vertical n’est pas 𝑦 mais 𝑣. Et la valeur dans notre axe horizontal n’est pas 𝑥 mais 𝑟. En considérant les valeurs possibles de 𝑟, nous voyons que si 𝑟 est égal à zéro, alors puisque la racine carrée de zéro est zéro, 𝑣 sera également nul. Par conséquent, nous pouvons éliminer la courbe rouge de notre liste de possibilités. Notre courbe doit passer par l’origine à zéro, zéro. En considérant la courbe grise sur notre graphique, nous voyons qu’il s’agit d’une droite. Cela ne correspond pas à la forme de la courbe 𝑦 est égal à la racine carrée de 𝑥. Nous ne choisirons donc pas la courbe grise.
En comparant les deux courbes restantes, l’orange et la bleu, nous voyons que la courbe orange augmente en valeur à un rythme croissant lorsque 𝑟 augmente. La courbe bleue augmente, mais apparemment à un rythme décroissant. La forme de la courbe bleue est cohérente avec la forme de la courbe représentant 𝑦 égale la racine carrée de 𝑥. Cela concorde avec la forme générale de notre fonction 𝑣 est directement proportionnelle à la racine carrée de 𝑟. Des quatre courbes du graphique, c’est donc la courbe bleue qui représente correctement la vitesse linéaire de notre objet considérée par rapport au rayon de sa trajectoire circulaire. Nous choisissons l’option de réponse (C).
