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Laquelle est la courbe d’équation 𝑦 égal à sinus de deux 𝑥 ?
Nous examinerons chacun des cinq courbes données pour déterminer laquelle a les mêmes transformations que 𝑦 est égal à sinus de deux 𝑥. Tout d’abord, nous devons rappeler les différentes transformations de la fonction initiale de 𝑦, ou 𝑓 de 𝑥, est égale à sinus de 𝑥. La première catégorie de transformations est appelée translations ou décalages. Un décalage vertical vers le haut ou vers le bas de 𝑎 unités est donné par 𝑓 de 𝑥 plus 𝑎, alors qu’un décalage horizontal vers la gauche ou vers la droite de moins 𝑏 unités est donné par 𝑓 de 𝑥 plus 𝑏.
Ce type de translation peut être un peu difficile à comprendre, nous allons donc passer en revue deux exemples rapides. La notation 𝑓 de 𝑥 plus huit signifie décaler vers la gauche de huit unités, et la notation 𝑓 de 𝑥 moins huit signifie décaler vers la droite de huit unités. Le troisième type de transformation est appelé dilatation verticale ou changement d’amplitude. Nous rappelons que l’amplitude standard de la fonction sinus est égale à un. Donc, si nous multiplions la fonction par un coefficient 𝑐, nous obtenons une nouvelle amplitude de la valeur absolue de 𝑐. La dernière transformation que nous allons examiner est la dilatation horizontale, également appelée changement de période. Nous rappelons que la fonction sinus originale a une période de 360 degrés. Si on nous donne 𝑓 de 𝑑 fois 𝑥, cela signifie que la période est multipliée par un coefficient de un sur 𝑑.
Maintenant, nous allons voir quelle transformation est donnée par la fonction 𝑦 égale sinus de deux 𝑥. Si nous commençons par sinus de 𝑥 égale 𝑓 de 𝑥, nous devrions être capable de déterminer que vaut sinus de deux 𝑥. En remplaçant 𝑥 par deux 𝑥, on trouve que sin de deux 𝑥 est égal à 𝑓 de deux 𝑥, que nous reconnaissons comme un changement de période. Dans ce cas, 𝑑 égale deux. Le coefficient appliqué à la période est donc un sur deux. Ainsi, bien que l’amplitude n’ait pas changée, la période initiale de 360 est multipliée par un demi. Par conséquent, nous recherchons la courbe du sinus qui a une période de 180 degrés.
Nous allons maintenant examiner l’option (A). Cela semble être la fonction sinus d’origine, avec une amplitude de un et une période de 360, que nous avons soulignées en bleu. Nous reconnaissons les cinq points de coordonnées familiers entre zéro et 360, où 𝑥 est égal à une mesure d’angle en degrés et 𝑦 est égal au sinus de 𝑥. Nous chercherons ces cinq points dans les autres courbes de sinus pour déterminer s’il y a eu un changement de période ou une autre transformation. Nous éliminons la première option car il s’agit d’une courbe de la fonction sinus d’origine sans changement de période.
En passant à l’option (B), nous pouvons tracer une période de sinus, en commençant par le point de coordonnées 90, zéro. Cela se produit lorsque nous avons une valeur 𝑏 de moins 90, ce qui provoque un décalage horizontal de plus 90. Nous voyons que les cinq points ont été décalés de 90 degrés vers la droite. Ce décalage horizontal préserve la longueur de la période de 360 degrés. Donc, ce n’est pas la fonction que nous recherchons. Nous éliminons donc l’option (B) et passons à l’option (C).
La première chose que nous remarquons à propos de l’option (C) est le changement de période. La longueur de la période a été diminuée, mais nous devons déterminer si elle a été diminuée à 180 degrés ou non. Si nous mettons en évidence une période de cette courbe sinusoïdale, entre moins 30 et 90 degrés, nous obtenons une longueur de période de 120 degrés. Donc, nous éliminons cette option en raison du fait que la période ne représente pas les 180 degrés souhaités. Il semble également que cette courbe sinusoïdale ait été décalée de 30 degrés vers la gauche.
En passant à l’option (D), nous remarquons un autre changement de période. Nous traçons une période de cette courbe sinusoïdale, qu’on trouve qu’elle est exactement égale à 180 degrés. Cela indique un changement de période avec un rapport de un demi, ce qui signifie que 𝑑 est égal à deux. Voici la courbe de 𝑓 de deux 𝑥, qui représente la fonction 𝑦 égale sinus de deux 𝑥.
Pour nous assurer que nous avons considéré toutes les options, nous examinons l’option (E). La première chose que nous remarquons est que cette courbe sinusoïdale n’est plus centrée autour de l’axe des 𝑥. Dans ce cas, nous avons un décalage vertical de 𝑎 égal à un. Ainsi, la période et l’amplitude restent les mêmes, mais tous les points sont décalés d’une unité vers le haut. En raison du décalage vertical et de l’absence de changement de période dans l’option (E), nous pouvons en toute sûreté éliminer cette option des choix.
L’option (D) est la seule courbe avec l’amplitude correcte qui vaut un et la période de 180, sans aucun décalage horizontal ou vertical. Par conséquent, (D) est la courbe qui représente 𝑦 est égal à sinus de deux 𝑥.
