Vidéo question :: Circuits de courant alternatif Physique

Transcription de la vidéo

Un générateur de courant alternatif a une fréquence de 50 hertz. La bobine du générateur est initialement parallèle au champ magnétique du générateur, et ses boucles sont coplanaires. À quel moment après le début de la rotation de la bobine la différence de potentiel instantanée à travers la bobine est-elle égale à la moyenne quadratique de la différence de potentiel produite par le générateur ?

Commençons par rappeler que le déplacement d’une boucle conductrice dans un champ magnétique induit une force électromotrice, ou FEM, dans la boucle. Dans un générateur de courant alternatif, comme nous l’avons ici, la différence de potentiel entre les bornes de la boucle est la FEM fournie. Ensuite, rappelez-vous la formule pour déterminer la valeur instantanée de la FEM alternée : 𝑛 fois 𝐴 fois 𝐵 fois 𝜔 fois sin 𝜔 fois 𝑡, où 𝑛 est le nombre de boucles en rotation, 𝐴 est l’aire de chaque boucle, 𝐵 est la force du champ magnétique, 𝜔 est la fréquence angulaire des boucles, et 𝑡 est le temps. Rappelons également la formule pour trouver la moyenne quadratique de la FEM : un sur la racine carrée de deux fois la FEM de crête.

Maintenant, remarquez la fonction sinus dans la formule instantanée. Cela signifie que, au fur et à mesure que le temps passe dans la boucle, la FEM varie de manière sinusoïdale. Regardons un schéma avec une vue du dessus pour visualiser cela. Vu de dessus, voici les boucles, que nous savons être coplanaires ou toutes orientées dans la même direction. Nous savons également qu'elles sont initialement parallèles au champ magnétique. Ainsi, à l’instant 𝑡 est égal à zéro, la FEM est également nulle puisque le champ magnétique ne peut pas réellement passer à travers les boucles. Cela correspond au temps 𝑡 égal à zéro dans la formule de la FEM instantanée. Le sinus de zéro est zéro, il n’y a donc pas de FEM induite dans les boucles de fils à ce premier instant. Cependant, à l’inverse, l’intensité de la FEM est maximisée aux moments où le champ magnétique peut traverser le plus de surface possible de la boucle, c’est-à-dire lorsque le plan de la boucle est perpendiculaire au champ.

En revenant à la formule, nous savons que pour que la FEM soit maximale, la fonction sinus doit être maximale. Et la plus grande valeur que le sinus peut avoir est un. Ainsi, nous pouvons écrire une formule exprimant que la FEM maximale ou de crête est obtenue lorsque tout ce terme est égal à un. Et ce côté de la formule devient simplement 𝑛𝐴𝐵𝜔. Substituons cela dans la formule de la moyenne quadratique. Et nous avons maintenant des expressions complètes à la fois pour la FEM instantanée et pour sa moyenne quadratique. Maintenant, nous voulons déterminer le moment où la FEM instantanée est égale à la moyenne quadratique de la FEM. Nous allons donc égaler ces deux formules entre elles.

Et maintenant que nous avons notre égalité, simplifions en divisant les deux côtés par 𝑛𝐴𝐵𝜔. Ces termes s’annulent. Et maintenant, nous avons le sinus de 𝜔𝑡 égal à un sur la racine carrée de deux. Et tout ce que nous avons à faire est de déterminer 𝑡 car cela représente le temps qui correspond à la condition que nous recherchons. Alors, pour enlever la fonction sinus dans laquelle le temps apparaît, nous prenons l’arcsinus des deux côtés de la formule. Et rappelez-vous, nous devrions mesurer les angles en radians. Ainsi, nous écrivons arcsinus de un sur racine carrée de deux comme étant 𝜋 sur quatre radians. Maintenant, pour obtenir 𝑡 tout seul, nous divisons les deux côtés de la formule par 𝜔. Et nous avons 𝑡 égal 𝜋 sur quatre radians divisé par 𝜔, qui représente la fréquence angulaire des boucles tournantes.

Maintenant, on nous a dit que les boucles tournent à un rythme de 50 hertz. Donc, rappelez-vous que hertz est l’unité SI de fréquence, et il mesure un certain nombre de répétitions par seconde. Donc, ici, 50 hertz fait référence aux boucles effectuant 50 rotations ou tours complets par seconde. Maintenant, nous allons utiliser cette valeur pour le calcul. Et la seconde est l’unité de base SI du temps. Donc, le dénominateur est bon. Mais rappelez-vous que 𝜔 ne représente pas seulement une fréquence. Il représente la fréquence angulaire. Et nous mesurons les angles en utilisant les radians, pas les révolutions. Donc, nous devons faire une conversion. Rappelons qu’une révolution signifie le tour complet d’un cercle, qui mesure deux 𝜋 radians. Donc, faisons cette substitution au numérateur, et nous avons 50 fois deux 𝜋 soit 100𝜋 radians par seconde. Maintenant, c’est une fréquence angulaire appropriée, et nous sommes prêts à calculer.

Ainsi, 𝑡 est égal à 𝜋 sur quatre radians divisé par 100𝜋 radians par seconde ou en simplifiant 𝜋 radians divisé par 400𝜋 radians par seconde. Maintenant, nous pouvons annuler 𝜋 radians du numérateur et du dénominateur, en laissant un sur 400 par seconde. Et l’unité par seconde au dénominateur est égale à l’unité de seconde au numérateur. Donc, notre réponse est un quatre centième de seconde soit 0,0025 secondes. Et c’est tout. Nous avons déterminé que la différence de potentiel à travers la bobine est égale à la moyenne quadratique de la différence de potentiel produite par le générateur 0,0025 secondes après que la bobine commence à tourner.