Transcription de la vidéo
Étant donné le graphique ci-dessous ainsi que 𝑥 est supérieur ou égal à zéro, 𝑦 est supérieur ou égal à zéro, 𝑥 plus 𝑦 est inférieur ou égal à sept et 𝑦 est supérieur ou égal à cinq, déterminez en quel point la fonction 𝑝 égale à trois 𝑥 moins 𝑦 admet son maximum en utilisant la programmation linéaire.
Alors, dans cet exemple, on nous donne ces quatre contraintes et ces contraintes sont représentées sur le graphique. C’est la zone orange qui nous montre les valeurs admissibles pour 𝑥 et 𝑦 étant donné les contraintes. On nous donne aussi que cette fonction 𝑝 est égal à trois 𝑥 moins 𝑦. Nous pouvons appeler ceci notre fonction objectif. C’est la fonction que nous voulons maximiser étant donné nos contraintes. L’idée est donc de prendre la fonction objectif et de choisir des paires de coordonnées 𝑥, 𝑦 correspondant à des points 𝑥, 𝑦 situés dans la zone colorée du graphique.
Le point de cette zone donnant la plus grande valeur de 𝑝 parmi toutes les autres valeurs sera le point qui maximise cette fonction objectif. Maintenant, dans cette zone orange, il y a en fait un nombre infini de points. Mais heureusement, grâce à un résultat, que nous ne démontrons pas ici, nous savons que ce sont seulement les points situés aux sommets de cette zone – aux points 𝐴, 𝐵 et 𝐶 - qui peuvent donner une valeur maximale de la fonction objectif. Cela signifie que nous devons seulement vérifier les valeurs pour ces trois points.
Notons qu’il y a un quatrième point indiqué sur le graphique, le point 𝐷. Comme ce point se situe en dehors de la zone autorisée ou admissible, qui est en orange, nous n’allons pas le prendre en compte. Notre prochaine étape consiste donc à déterminer les coordonnées de ces trois points 𝐴, 𝐵 et 𝐶. Pour le point 𝐴, on peut voir qu’il est situé sur la droite 𝑥 égale zéro et sur la droite 𝑦 égal cinq. Le point 𝐵 a la même valeur 𝑦 que le point 𝐴 et une valeur de 𝑥 de deux. Le point 𝐶 a une valeur 𝑥 de zéro et une valeur 𝑦 de sept. Alors, voici donc les trois points que nous allons tester dans notre fonction objectif.
En remplaçant les coordonnées du point 𝐴, nous obtenons trois fois zéro moins cinq. Ce qui fait moins cinq. Ensuite, pour le point 𝐵, nous avons trois fois deux moins cinq. Ce qui fait un. Et enfin, le point 𝐶, trois fois zéro moins sept est égal à moins sept. Parmi ces trois points, la valeur maximale est un. Et cela correspond aux coordonnées du point 𝐵.
On peut alors dire que c’est au point 𝐵 que la fonction objectif atteint sa valeur maximale.
