Transcription de la vidéo
Si le déterminant de la matrice deux par deux 𝑥, quatre, quatre, 𝑦 est égal à zéro; si le déterminant de la matrice deux par deux 𝑦, neuf, neuf, 𝑧 est égal à zéro; et si le déterminant de la matrice deux par deux 𝑥, un, un, 𝑧 est égal à zéro, trouvez le déterminant de la matrice trois par trois 𝑥, un, deux, zéro, 𝑦, trois, zéro, zéro, 𝑧.
Dans cette question, on nous dit que le déterminant de trois matrices deux par deux est égal à zéro. Ces trois matrices contiennent trois inconnues : 𝑥, 𝑦 et 𝑧. Nous devons utiliser ces informations pour déterminer le déterminant d’une autre matrice trois par trois impliquant les trois inconnues. Ainsi, pour répondre à cette question, nous devons commencer par trouver une expression pour le déterminant de la matrice trois par trois. Nous pourrions être tentés de le faire en développant la première ligne. Cependant, il existe une méthode beaucoup plus simple.
Nous devons remarquer que cette matrice est une matrice triangulaire supérieure. Toutes les entrées sous la diagonale principale sont égales à zéro. Nous pouvons alors évaluer ce déterminant en rappelant l’une des propriétés du déterminant, qui dit que si nous essayons de trouver le déterminant d’une matrice carrée triangulaire, alors il est égal au produit de toutes les entrées de la diagonale principale. Par conséquent, comme il s’agit d’une matrice triangulaire supérieure, le déterminant de cette matrice est le produit des entrées sur sa diagonale principale : 𝑥 fois 𝑦 fois 𝑧.
Par conséquent, pour répondre à cette question, nous devons déterminer la valeur de 𝑥, 𝑦 et 𝑧 à partir des trois déterminants donnés. Pour ce faire, nous allons devoir évaluer chacun des trois déterminants. Commençons par le premier déterminant. Nous voulons évaluer le déterminant d’une matrice deux par deux. Nous le faisons en trouvant la différence dans les produits de ses diagonales. Le déterminant de cette matrice est 𝑥 fois 𝑦 moins quatre fois quatre. Nous pouvons alors simplifier cela puisque quatre fois quatre font 16. Le déterminant de cette matrice est 𝑥𝑦 moins 16. Seulement, rappelez-vous, on nous dit dans la question que le déterminant de cette matrice est égal à zéro. Par conséquent, nous savons que zéro est égal à 𝑥𝑦 moins 16. Nous pouvons trouver une expression pour 𝑥𝑦 en ajoutant 16 aux deux côtés de l’équation. Nous avons que 𝑥𝑦 est égal à 16.
Appliquons maintenant ce même processus au deuxième déterminant. Tout d’abord, nous évaluons le déterminant de cette matrice en prenant la différence entre les produits des diagonales. Soit 𝑦 fois 𝑧 moins neuf fois neuf. Puis, puisque neuf fois neuf donne 81, cela se simplifie pour nous donner 𝑦𝑧 moins 81. Rappelez-vous, on nous dit dans la question que ce déterminant est égal à zéro. Nous pouvons donc définir cette valeur égale à zéro, puis ajouter 81 aux deux côtés de l’équation. Nous obtenons que 𝑦 fois 𝑧 est égal à 81.
Nous devons maintenant appliquer ce processus une dernière fois au troisième et dernier déterminant. Tout d’abord, nous prenons la différence dans les produits des diagonales. Le déterminant de cette matrice est 𝑥 fois 𝑧 moins un fois un, ce qui simplifie pour nous donner 𝑥𝑧 moins un. Nous savons que ce déterminant est égal à zéro. Nous pouvons alors ajouter un des deux côtés de l’équation pour déterminer que 𝑥 fois 𝑧 doit être égal à un.
A ce stade, nous pouvons remarquer quelque chose d’intéressant. Nous avons trois équations impliquant nos variables 𝑥, 𝑦 et 𝑧. Le côté gauche de chacune de ces trois équations apparaît dans notre expression pour le déterminant. Nous pouvons donc essayer de trouver une expression pour ce déterminant en prenant le produit de chacune de ces trois équations. Tout d’abord, en prenant le produit du côté gauche de ces trois équations, nous obtenons 𝑥𝑦 fois 𝑦𝑧 fois 𝑥𝑧. Celui-ci sera alors égal au produit du membre droit de chaque équation : 16 fois 81 fois un.
Simplifions maintenant cette équation. Tout d’abord, à gauche de l’équation, nous avons deux facteurs de 𝑥, deux facteurs de 𝑦 et deux facteurs de 𝑧. Ainsi, cela se simplifie pour nous donner 𝑥 fois au carré 𝑦 fois au carré 𝑧 au carré. Ensuite, nous pouvons simplifier le côté droit de l’équation. 16 fois 81 fois un donne 1296. Nous sommes maintenant presque prêts à trouver la valeur de ce déterminant. Nous avons juste besoin d’utiliser nos lois des exposants pour supprimer l’exposant constant de deux en dehors de l’expression. 𝑥 fois au carré 𝑦 fois au carré 𝑧 au carré est 𝑥 fois 𝑦 fois 𝑧 le tout au carré. Il s’agit donc du carré de l’expression dont nous voulons trouver la valeur. Nous avons donc 𝑥 fois 𝑦 fois 𝑧 au carré est égal à 1296.
Nous pouvons trouver la valeur de 𝑥 fois 𝑦 fois 𝑧 en prenant la racine carrée des deux côtés de l’équation. Nous obtenons une racine positive et une racine négative. Nous obtenons 𝑥 fois 𝑦 fois 𝑧 est égal à plus ou moins la racine carrée de 1296. Nous pouvons alors évaluer cela. Nous obtenons plus ou moins 36, ce qui est notre réponse finale. Le déterminant de la matrice trois par trois qui nous a été donnée est soit égal à plus 36, soit moins 36.
