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Lequel des choix suivants est l’équation de la fonction 𝑓 de 𝑥 représentée ci-dessous et dont les asymptotes sont 𝑥 égale un et 𝑦 égale deux ? On nous donne cinq options pour 𝑓 de 𝑥. La première option est 𝑥 plus un sur 𝑥 moins un. La seconde est 𝑥 plus un sur 𝑥 plus deux. La troisième option est deux 𝑥 plus un sur 𝑥 moins un. La quatrième option est deux 𝑥 plus un sur 𝑥 plus un. La cinquième option est 𝑥 plus un sur 𝑥 moins deux.
Commençons par surligner les deux asymptotes sur la figure. Il est important de noter que l’unité sur les axes 𝑥 et 𝑦 est de deux. 𝑥 est égal à un est notre asymptote verticale, que nous avons surlignée en orange. 𝑦 est égal à deux est l’asymptote horizontale, que nous avons surlignée en rose. L’asymptote verticale en particulier nous indique à quelle valeur de 𝑥 notre fonction n’est pas définie. Nous rappelons qu’une fonction rationnelle est une fraction algébrique dans laquelle le numérateur et le dénominateur sont tous deux des polynômes. Nous rappelons également que les fonctions rationnelles, comme toutes les fractions, ne sont pas définies lorsque le dénominateur est égal à zéro.
Les cinq options qui nous ont été données correspondent à la description d’une fonction rationnelle. En fait, ces fonctions rationnelles sont de la forme 𝑓 de 𝑥 égale à 𝑚𝑥 plus 𝑛 sur 𝑝𝑥 plus 𝑞. En d’autres termes, le numérateur et le dénominateur contiennent chacun un polynôme affine. Nous rappelons que pour le graphique d’une fonction rationnelle de cette forme, l’asymptote verticale se trouve à la racine du dénominateur. La racine du polynôme au dénominateur est trouvée en fixant le dénominateur à zéro. En général, cela signifie que 𝑥 est égal à moins 𝑞 divisé par 𝑝. Cela sera vrai tant que 𝑝 n’est pas égal à zéro et aussi longtemps que le numérateur ne partage pas la même racine que le dénominateur.
Nous sommes maintenant prêts à identifier l’asymptote verticale de chacune des cinq fonctions qui nous ont été données. Nous éliminerons toute option qui n’a pas une asymptote verticale de 𝑥 égal un. Pour trouver la racine du dénominateur de notre première option, nous résolvons 𝑥 moins un égal à zéro. Cela nous donne une asymptote verticale de 𝑥 est égal à un. Il s’agit donc d’une possibilité. Cependant, nous ne pouvons pas être sûrs que cela soit la bonne réponse parce que nous n’avons pas encore trouvé l’asymptote horizontale de cette première option. Nous pouvons rapidement éliminer la deuxième option puisque la racine du dénominateur nous donne une asymptote verticale de 𝑥 égal moins deux. La troisième option a une asymptote verticale de 𝑥 est égal un. Il s’agit donc d'une autre possibilité.
Nous devrions remarquer à ce stade qu’un dénominateur de 𝑥 moins un nous donne une asymptote verticale de 𝑥 est égal à un. Puisque les deux dernières options n’ont pas un dénominateur de 𝑥 moins un et ne nous donnent pas non plus une asymptote verticale de 𝑥 est égale à un, nous éliminons ces possibilités. Par conséquent, sur les cinq choix qui nous ont été donnés, il ne reste que deux possibilités.
Maintenant, nous rappelons comment trouver l’asymptote horizontale pour le graphique d’une fonction rationnelle sous cette forme. Pour ce faire, nous divisons simplement le coefficient directeur du numérateur par le coefficient directeur du dénominateur, ce qui donne l’équation 𝑦 est égal à 𝑚 divisée par 𝑝. Nous notons que 𝑥 a un coefficient directeur de un. Nous voyons dans notre première fonction que les deux coefficients principaux sont un et un divisé par un donne un. Par conséquent, l’asymptote horizontale de la première fonction est 𝑦 est égal à un.
Ensuite, nous passerons à la troisième option, car nous avons déjà éliminé la deuxième option. Nous voyons que le numérateur a un coefficient directeur de deux et que le dénominateur un coefficient directeur de un. Le quotient de ces deux coefficients dominants nous donne notre asymptote horizontale de 𝑦 est égal à deux. Nous pouvons maintenant éliminer la première option car elle n’a pas une asymptote horizontale de 𝑦 est égal à deux. Sur les cinq options, seule l’option (C) présente les bonnes asymptotes verticale et horizontale.
Dans d’autres questions à choix multiples, comme celle-ci, nous pouvons constater que plusieurs options ont les mêmes asymptotes verticales et horizontales. Dans ce cas, nous aurons besoin d’une troisième façon de différencier les deux fonctions ayant les mêmes asymptotes. Pour ce faire, nous choisissons simplement des couples de coordonnées sur la courbe et nous vérifions que ces couples sont des solutions dans la fonction que nous avons sélectionnée. Idéalement, nous vérifierions l’ordonnée à l’origine. L’ordonnée à l’origine de ce graphique semble être le point zéro, moins un. Nous pourrions également utiliser le point deux, cinq. Tout point du graphique fonctionnerait.
Pour vérifier l’ordonnée à l’origine de zéro, moins un avec notre fonction, nous substituons simplement zéro à 𝑥. Dans ce cas, 𝑓 de zéro égale moins un, comme prévu. Cependant, si nous hésitions toujours entre l’option (A) et l’option (C), vérifier le point zéro, moins un ne serait pas suffisant car l’option (A) a également une solution de zéro, moins un. Alors vérifions le point deux, cinq. Deux, cinq n’est pas une solution dans la fonction donnée par l’option (A). Cependant, deux, cinq est une solution à la fonction de l’option (C). 𝑓 de deux égale cinq.
En conclusion, sur les cinq options qui nous ont été données, la seule fonction qui correspond au graphique et qui a les asymptotes 𝑥 est égal à un et 𝑦 est égal à deux est la fonction 𝑓 de 𝑥 est égal à deux 𝑥 plus un sur 𝑥 moins un.
