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Vidéo : Angles orientés et mesure principale d’un angle

Anne-Claire Dupuis

Apprenez ce qu’est un angle orienté et le concept de mesure principale d’un angle. Nous explorons les angles à l’aide du cercle unitaire et observons comment un même point sur le cercle unitaire représente toute une famille d’angles.

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Transcription de vidéo

Dans cette vidéo, nous allons apprendre comment sont définis les angles orientés dans le cercle unitaire, et nous allons voir comment une même position des deux côtés de l’angle représente en réalité une infinité d’angles différents, ou toute une famille d’angles définis à partir de ce qu’on appelle leur mesure principale.

Prenons le cercle unitaire. Si je prends un angle quelconque comme celui-ci, nous savons que la mesure de l’angle en radians est donnée par la longueur de l’arc de cercle entre les deux côtés de l’angle. Mais si je pense à l’angle comme à une fraction de tour complet, je pense au mouvement du deuxième côté de l’angle, c’est-à-dire quand on commence avec les deux côtés de l’angle l'un sur l’autre, je pense à ce mouvement-ci.

Mais je peux très bien imaginer aussi que le deuxième segment tourne de plus d’un tour pour finalement s’arrêter exactement à la même position. La mesure de l’angle dans le deuxième cas est donc plus grande que deux 𝜋 en radians, et c’est même la mesure du premier angle, plus deux 𝜋 radians. Ou bien je peux aussi imaginer tourner dans l’autre sens, et donc je peux par exemple imaginer ce chemin, qui me donne à la fin exactement la même position que dans les autres cas.

La question maintenant est, quelle est la mesure de ce dernier angle?

Pour répondre à cette question je vais prendre l’image de la droite graduée que l’on enroule autour du cercle unitaire. J’ai donc ici ma droite graduée et je la fixe en son zéro au point un, zéro de notre repère orthonormé. Sa graduation dans notre système de l- d’unités de longueur est donc un et deux ici vers le haut, et moins un, moins deux vers le bas. Si maintenant je l’enroule dans le sens contraire des aiguilles d’une montre, ou le sens antihoraire, on voit que c’est la graduation positive qui va sur le cercle. Si par contre je l’enroule dans le sens des aiguilles d’une montre, c’est-à-dire le sens horaire, c’est la graduation négative qui va aller sur le cercle. C’est donc ainsi que sont définis les sens de rotation pour les angles. Si le deuxième côté de l’angle tourne dans le sens contraire des aiguilles d’une montre, ou antihoraire, on dit que le sens est positif, c’est-à-dire l’angle a une mesure positive, tandis que s’il tourne dans le sens des aiguilles d’une montre ou le sens horaire, la mesure de l’angle est alors négative.

La mesure de notre angle ici dessiné en rouge, donc quand on a tourné dans le sens négative- négatif va donc être négative. Et la valeur absolue de la mesure de l’angle va être donnée par la longueur de l’arc entre les deux côtés de l’angle, mais du côté où on a tourné, c’est-à-dire cet arc ici.

Entraînons-nous avec deux petits exercices à manier le concept d’angles positifs et négatifs.

Donc ici on nous dit 𝛼 égale sept 𝜋 sur six radians et trouver 𝛽.

Ici, il y a plusieurs moyens de-de trouver la solution. D’abord on peut réfléchir en douzièmes de tour, et donc on refait le chemin-le chemin de 𝛽 en comptant le nombre de douzièmes de tour. Donc on en a un, deux, trois, quatre, cinq, cinq douzièmes de 𝜋 radians, c’est-à-dire donc cinq 𝜋 sur six dans le sens négatif, donc on va avoir moins cinq 𝜋 sur six. On peut aussi se rendre compte que, en valeur absolue, 𝛼 plus 𝛽 va me faire le tour complet. Et donc la valeur absolue de 𝛽 doit être cinq 𝜋 sur six puisque cinq 𝜋 sur six plus sept 𝜋 sur six va bien me faire 12 𝜋 sur six, soit deux 𝜋 radians, et donc après je rajoute le signe moins puisque je sais que 𝛽 va dans le sens négatif. Ou dernière solution, je vois que, en fait pour obtenir 𝛽 je peux prendre 𝛼, et ensuite faire un tour complet dans le sens négatif. Je peux donc écrire 𝛽 égale 𝛼 plus moins deux 𝜋, moins deux 𝜋 étant donc un tour complet dans le sens négatif. Donc on voit ici bien sûr que quand il y a un changement de rotation, la partie commune faite dans les deux sens ne va pas être prise en compte; ça va nous faire bien zéro. Et donc ici le dernier chemin est strictement équivalent au chemin de 𝛽. Donc je peux faire 𝛼 et ensuite un tour complet dans l’autre sens. J’ai bien la même- le même chemin global, on va dire, que 𝛽.

Ici 𝛼 égale moins cinq 𝜋 sur huit radians. Trouver 𝛽.

Donc ici je peux penser par exemple que la somme des valeurs absolues de 𝛼 et 𝛽 va me faire deux 𝜋, c’est-à-dire 16 𝜋 sur huit, et donc 𝛽 égale 11 𝜋 sur huit radians. 𝛽 est bien dans le sens positif, donc je n’ai pas besoin de rajouter nécessairement le signe plus, puisqu’il est ici implicite. On a donc vu qu’une position donnée des deux demi-droites ou segments formant l’angle, donc de ses deux côtés, admet une infinité de mesures en ajoutant à chaque fois, à partir d’une mesure donnée, on peut toujours ajouter deux 𝜋 ou moins deux 𝜋 en tournant dans l’autre sens, et obtenir une nouvelle mesure qui caractérise toutefois la même position des deux côtés de l’angle.

Pour pouvoir définir une position donnée des deux côtés de l’angle de manière unique, on utilise la notion de mesure principale d’un angle. Donc cette mesure est définie comme la seule et unique mesure de l’angle parmi toutes celles qui caractérisent donc une position donnée des deux côtés de l’angle, donc celle qui appartient à l’intervalle moins 𝜋, 𝜋 radians.

Voyons maintenant cela avec quelques exercices.

Donc soit 𝛼 égale trois 𝜋 sur quatre radians. Donner trois autres mesures d’angles représentés par la même position de leurs côtés dans le cercle trigonométrique.

Donc je peux placer 𝛼 dans mon cercle trigonométrique, donc c’est trois quarts de demi-tours dans le sens positif. Donc nous sommes ici à trois 𝜋 sur quatre radians, et je peux commencer par trouver le même position quand j’ai tourné dans le sens négatif, soit ici moins cinq 𝜋 sur quatre radians ; j’ai bien la somme des valeurs absolues qui me donne deux 𝜋 radians. Et ensuite, je peux aussi choisir de partir de 𝛼 et de rajouter un nom- un tour complet dans le sens positif, ce qui me donne trois 𝜋 sur quatre plus deux 𝜋, ce qui me donne donc 11 𝜋 sur quatre radians. Et troisième possibilité que je peux choisir, c’est de prendre le moins cinq 𝜋 sur quatre radians et de continuer à faire un tour de plus dans le sens négatif, ce qui me donne donc moins cinq 𝜋 sur quatre moins deux 𝜋, égale moins 13 𝜋 sur quatre radians. Donc on voit ici que toutes ces mesures d’angles ont été obtenues à partir de mon angle 𝛼 en ajoutant des tours complets dans le sens positif ou dans le sens négatif, et donc tous peuvent-être exprimés à partir de cette mesure d’𝛼. Et puisque 𝛼 est compris entre moins 𝜋 et 𝜋 radians, on voit qu’ici 𝛼 est la mesure principale de ces trois autres angles.

Déterminer la mesure principale de l’angle 𝛼 égale 83 𝜋 sur quatre radians.

Donc ici on voit que 83 𝜋 sur quatre est plus grand que deux 𝜋, c’est-à-dire que pour avoir l’angle 𝛼 on a dû faire plusieurs tours complets. Donc il nous faut chercher ici combien il y a de tours complets dans 83 𝜋 sur quatre radians, pour pouvoir les enlever et trouver la mesure principale de l’angle. Un tour complet est deux 𝜋, c’est-à-dire huit 𝜋 sur quatre, et donc on va diviser 83 par huit, et on trouve que ça fait 10 et qu’il reste trois. On peut donc écrire 83 égale 10 fois huit plus trois, et donc 83 𝜋 sur quatre égale 10 fois huit 𝜋 sur quatre plus trois 𝜋 sur quatre.

Puisque nous parlons ici d’une mesure en radians, laissez huit 𝜋 sur quatre radians sont donc deux 𝜋 radians, soit un tour complet, donc, on a donc 10 tours complets plus un angle de trois 𝜋 sur quatre radians. Et puisque trois 𝜋 sur quatre est bien compris entre moins 𝜋 et 𝜋, la mesure principale de l’angle 𝛼 est donc trois 𝜋 sur quatre radians.

Déterminer la mesure principale de l’angle 𝛼 égale moins 29 𝜋 sur quatre radians.

Donc ici on voit que la mesure de l’angle 𝛼 et négative, ce qui veut dire que le deuxième côté de l’angle a été tourné dans le sens négatif, et la valeur absolue de sa mesure est supérieure à deux 𝜋 radians, ce qui veut dire qu’il y a eu plus d’un tour complet d’effectuer dans le sens négatif. Puisqu’un tour complet dans le sens négatif est moins deux 𝜋 radians, c’est-à-dire moins huit 𝜋 sur quatre radians, il me faut trouver combien de fois j’ai moins huit dans moins 29 pour trouver le nombre de tours complets.

Puisqu’on a moins 29 égale moins huit fois trois plus moins cinq, je peux écrire que moins 29 𝜋 sur quatre radians est égal à trois fois moins huit 𝜋 sur quatre plus moins cinq 𝜋 sur quatre radians.

Puisque moins 𝜋 sur quatre c’est moins deux 𝜋, c’est-à-dire mon tour complet dans le sens négatif, le premier terme ici trois fois moins huit 𝜋 sur quatre correspond donc à trois tours complets. Et la fraction de tour qui me reste est moins cinq 𝜋 sur quatre radians. Mais attention ici car moins cinq 𝜋 sur quatre est inférieur à moins 𝜋, et donc moins cinq 𝜋 sur quatre radians n’est pas la mesure principale d’𝛼.

Pour nous aider à comprendre visualisons ce qu’est 𝛼 sur le cercle unitaire.

𝛼 est donc obtenu en faisant trois tours complets dans le sens négatif, et ensuite un angle de moins cinq 𝜋 sur quatre, c’est-à-dire cet angle-ci. Et donc si j’enlève les trois tours complets, donc il me reste moins cinq 𝜋 sur-sur quatre, c’est-à-dire cet angle-ci, et on voit en effet que c’est plus qu’un demi-tour dans le sens négatif. La mesure principale d’𝛼 est donc cet angle-ci qui est donc moins d’un demi-tour dans le sens positif, et on voit qu’en fait je peux partir de mon moins cinq 𝜋 sur quatre, et ensuite refaire tout un tour complet positif, ce qui me donne donc moins cinq 𝜋 sur quatre plus deux 𝜋 égale trois 𝜋 sur quatre. Ce qui revient à voir l’angle 𝛼 comme quatre tours complets dans le sens négatif, et ensuite de tourner dans le sens positif de trois 𝜋 sur quatre radians.

Et donc cette fois-ci, cette fraction de tour qui me reste, trois 𝜋 sur quatre radians est la mesure principale de mon angle, puisqu’elle est bien comprise entre moins 𝜋 et plus 𝜋 radians.

La mesure principale de 𝛼 est donc trois 𝜋 sur quatre radians.

En résumé, nous avons vu qu’une même position des deux côtés d’un angle dans le cercle unitaire correspond à une infinité de mesures d’angles orientés, où le mouvement du deuxième côté de l’angle est pris en compte.

Si le deuxième côté de l’angle a tourné dans le sens inverse des aiguilles d’une montre, ou le sens antihoraire, sa mesure est alors positive, tandis qu’il- s’il a tourné dans le sens des aiguilles d’une montre, dans le sens horaire, sa mesure est négative.

Aussi, si le deuxième côté de l’angle effectue un ou plusieurs tours complets dans le sens positif ou négatif, cela va être pris en compte dans sa mesure, dont la valeur absolue va alors être plus grandre que deux 𝜋 radians.

Nous avons aussi appris que la mesure principale d’un angle est la mesure de l’angle correspondant donc à une position donnée des deux côtés de l’angle qui est dans l’intervalle moins 𝜋, 𝜋 radians.

Et ainsi, tout angle peut être exprimé comme sa mesure principale plus un certain nombre de tours complets, ce qui s’écrit 𝛼 égale donc sa mesure principale en radians plus 𝑘 fois deux 𝜋 radians, où 𝑘 est un nombre relatif, où donc la valeur absolue de 𝑘 nous donne le nombre de tours complets qui ont été effectués, et le signe de 𝑘 nous donne le sens de rotation.