Transcription de la vidéo
Des rayons lumineux passent à travers une plaque dans laquelle sont percées deux fentes étroites et parallèles distantes de 12,8 micromètres. Les rayons lumineux issue des fentes sont projetés sur un écran parallèle à la plaque, où l’on observe un motif de franges claires et sombres. Une ligne 𝐿 est tracée perpendiculairement à la surface de la plaque dans la direction des fentes Sur l’écran, la droite 𝐿 coupe le motif au niveau de la frange centrale. L’angle entre la droite 𝐿 et la droite qui coupe le centre de la frange la plus proche est de 3,09 degrés. Quelle est la longueur d’onde de la lumière ? On donnera la réponse arrondie au nanomètre.
Nous cherchons à déterminer la longueur d’onde 𝜆 de la lumière. Et on nous donne la distance entre les deux fentes, 12,8 micromètres, et l’angle entre la droite 𝐿 et une autre droite qui va du centre des fentes vers la première frange brillante la plus proche de la frange centrale, 3,09 degrés. On nous donne aussi implicitement une autre grandeur lorsqu’on parle de franges lumineuses. Chaque fois que l’on parle de droites coupant ces taches lumineuses ou que l’on utilise l’expression « frange brillante », il faut immédiatement penser aux interférences constructives et à la manière dont elles se produisent ; lorsque la différence de longueur de chemin entre deux ondes est égale à 𝑛𝜆, où 𝑛 est un entier.
Par exemple, pour cette frange brillante centrale ici, il n’y a pas de différence de longueur de chemin entre les deux ondes issues des fentes qui interfèrent en ce point. La différence de longueur de chemin ici vaut toujours 𝑛𝜆. C’est juste que dans ce cas 𝑛 est égal à zéro. Et comme les interférences constructives qui créent ces franges lumineuses ne peuvent se produire que lorsque 𝑛 est un entier, cela signifie que toutes ces autres franges lumineuses correspondent aussi à une valeur entière 𝑛, qui varient vers le haut ou vers le bas à partir de la frange brillante centrale où nous savons que 𝑛 est égal à zéro. Alors, dans l’énoncé, on nous dit qu’on a tracé une droite qui coupe le centre de la frange la plus proche de la frange centrale et cela nous indique en fait que la valeur de 𝑛 pour cette frange est un.
Nous avons donc la distance entre les deux fentes, qui vaut 12,8 micromètres, l’angle entre 𝐿 et cette droite, qui vaut 3,09 degrés et la valeur de 𝑛 pour la différence de longueur de chemin entre deux ondes lumineuses qui se croisent en ce point, qui vaut un. Nous devons maintenant faire le lien entre toutes ces grandeurs et la longueur d’onde 𝜆. Pour cela, nous allons regarder de plus près la distance entre les deux fentes et faire un peu de trigonométrie. Nous avons ici les deux fentes et la distance qui les sépare est de 12,8 micromètres. Deux ondes lumineuses issues de ces fentes vont interférer sur l’écran en face de cette plaque et en interférant, elles forment la frange brillante qui correspond à 𝑛 égal à un.
Si nous traçons des droites perpendiculaires à la plaque, nous pouvons alors utiliser ces droites pour déterminer l’angle formé par les ondes lumineuses lorsqu’elles sortent des fentes. Comme l’écran où sont projetées les ondes lumineuses est relativement loin, la différence d’angles entre ces deux ondes lumineuses est très petite, ce qui signifie que nous pouvons considérer que ces deux angles sont en fait égaux. Si l’angle au niveau de la fente supérieure et celui au niveau de la fente inférieure sont égaux, alors l’angle formé entre deux droites au centre des fentes aura aussi la même valeur, disons, entre une droite 𝐿 et la droite qui coupe le centre de la frange brillante le plus proche de la frange brillante centrale où 𝑛 est égal à un. Et comme nous connaissons déjà cet angle, appelé 𝜃, les autres angles valent également 𝜃, car ils sont égaux.
Maintenant que nous connaissons cet angle 𝜃, relions-le à la distance entre les fentes 𝑑 et à la différence de longueur de chemin entre les deux ondes lumineuses. Rappelons que la différence de longueur de chemin entre deux ondes qui peuvent éventuellement interférer de manière constructive, ou former une frange brillante, est égale à 𝑛𝜆, et dans ce cas, où 𝑛 est égal à un, la différence de longueur de chemin vaut simplement 𝜆. Cela signifie que l’onde lumineuse du bas se déplace d’exactement un 𝜆 de plus que l’onde lumineuse du haut ici, d’où l’expression « différence de longueur du chemin ». Si nous traçons une ligne depuis la fente située en haut de la plaque jusqu’à l’extrémité de la différence de longueur de chemin pour avoir un angle de 90 degrés, alors nous avons un triangle rectangle avec pour hypoténuse 𝑑 et une longueur de côté 𝜆. Mais il reste toujours deux angles et un côté inconnu, mais est-ce bien le cas ?
Regardons ce triangle ici et voyons ce qui se passe lorsque nous prolongeons un peu cette droite. Comme cela. Nous venons de créer d’autres triangles qui vont nous permettre de déterminer les angles inconnus. Regardons le grand triangle formé par cette droite ici. Un de ces côtés est égal à la distance 𝑑. Le côté inférieur correspond à une partie de la droite perpendiculaire à la plaque, qui forme un angle de 90 degrés, nous avons donc un triangle rectangle. Et bien sûr, l’hypoténuse du triangle est la droite que nous avons prolongée vers le bas. Comme ce triangle et le triangle dont un des côtés est 𝜆 sont formés par cette même droite et la distance 𝑑, nous avons le même angle ici, que nous allons simplement appeler 𝜃 un. Et nous appellerons l’autre angle de ce triangle, ici, 𝜃 deux.
Maintenant, comparons ce triangle avec le petit triangle ici. Un de ses côtés est la différence de longueur de chemin 𝜆 et les deux autres côtés font partie de cette droite et de cette droite, qui forment le plus grand triangle. Comme ces deux droites et ces deux droites sont les mêmes, l’angle formé est le même, cet angle ici vaut donc 𝜃 deux. Et comme l’angle entre la droite prolongée vers le bas et l’onde lumineuse vaut 90 degrés, il vaut également 90 degrés de l’autre côté. Cet angle vaut donc 90 degrés.
Alors, quand deux triangles ont deux angles de même mesure, dans ce cas, l’angle de 90 degrés et 𝜃 deux, cela signifie que l’angle restant aura également la même mesure dans les deux triangles, puisque la somme des angles d’un triangle fait toujours 180 degrés. Le dernier angle de ce petit triangle est donc égal à 𝜃 un. Et nous connaissons déjà l’angle entre l’onde lumineuse et la droite perpendiculaire à la plaque. Il s’agit de 𝜃, ce qui signifie que 𝜃 un est en fait simplement égal à 𝜃. Les deux angles sont égaux.
Sachant cela, nous pouvons maintenant tracer un triangle qui relie les grandeurs 𝑑, 𝜃 et 𝜆 et qui ressemble à ceci. Comme il s’agit d’un triangle rectangle, nous pouvons utiliser la relation qui dit que sin 𝜃 est égal à la longueur du côté opposé sur la longueur de l’hypoténuse. Le côté opposé à l’angle 𝜃 est 𝜆 et l’hypoténuse de ce triangle rectangle est 𝑑, ce qui nous donne la relation sin 𝜃 égal 𝜆 sur 𝑑. Nous cherchons à déterminer 𝜆, pour cela multiplions les deux côtés par 𝑑, ce qui nous permet de simplifier les 𝑑 du côté droit et nous obtenons 𝑑 sin 𝜃 égal à 𝜆. La valeur de 𝑑 est de 12,8 micromètres, ce qui donne en écriture scientifique 1,28 fois 10 puissance moins cinq mètres. Et 𝜃 vaut bien sûr 3,09 degrés.
En remplaçant ces valeurs dans l’équation, puis faisant le calcul, nous obtenons un résultat de 6,899 fois 10 puissance moins sept mètres. Mais nous voulons un résultat arrondi au nanomètre, ce qui correspond à 10 puissance moins neuf mètres. Il faut donc déplacer la virgule ici de deux crans vers la droite pour obtenir dix puissance moins neuf, ce qui correspond aux nanomètres. En arrondissant maintenant au nanomètre, la valeur obtenue pour cette longueur d’onde est de 690 nanomètres.
