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Soient 𝐴, 𝐵 et 𝐶 trois événements incompatibles de l'univers 𝑆. Sachant que 𝑆 égal à 𝐴 union 𝐵 union 𝐶, la probabilité de 𝐴 est un cinquième de la probabilité de 𝐵 et la probabilité de 𝐶 est égale à quatre multipliée par la probabilité de 𝐴, calculez la probabilité de 𝐵 union 𝐶.
On nous dit dans cette question que nous avons trois événements incompatibles ou mutuellement exclusifs. Rappelons que deux événements, ou plus, sont mutuellement exclusifs s’ils ne peuvent pas se produire en même temps. On peut les représenter sur un diagramme de Venn comme indiqué où l’on voit qu’il n’y a pas de chevauchement ou d’intersection entre les trois cercles représentant les événements 𝐴, 𝐵 et 𝐶. Comme l’univers est égal à 𝐴 union 𝐵 union 𝐶, alors la probabilité de 𝐴 union 𝐵 union 𝐶 est égale à un. La somme des probabilités à l’intérieur des cercles doit être égale à un.
Rappelons également que si nous avons deux événements mutuellement exclusifs 𝑋 et 𝑌 alors la probabilité de 𝑋 union 𝑌 est égale à la probabilité de 𝑋 plus la probabilité de 𝑌. Cela signifie que dans notre question, la probabilité de 𝐴 plus la probabilité de 𝐵 plus la probabilité de 𝐶 doit être égale à un. On nous dit que la probabilité de 𝐴 est égale à un cinquième de la probabilité de 𝐵. Si nous multiplions les deux membres de cette équation par cinq, nous avons la probabilité de 𝐵 égale à cinq multipliée par la probabilité de 𝐴. Nous pouvons remplacer cela dans notre équation. Nous pouvons également remplacer la probabilité de 𝐶 par quatre multipliée par la probabilité de 𝐴.
L’équation devient la probabilité de 𝐴 plus cinq fois la probabilité de 𝐴 plus quatre fois la probabilité de 𝐴 est égale à un. Le membre de gauche se simplifie en 10 multiplié par la probabilité de 𝐴. Nous pouvons alors diviser par 10 et nous obtenons que la probabilité de 𝐴 est égale à un dixième. Cela peut aussi s’écrire sous forme décimale 0,1. La probabilité de 𝐵 est égale à cinq multipliée par cette valeur Ce qui fait cinq dixièmes, qui se simplifie en un demi. La probabilité de l’événement 𝐵 est de un demi. De même, la probabilité de l’événement 𝐶 est de quatre dixièmes. En divisant le numérateur et le dénominateur par deux, cela fait deux cinquièmes.
On nous demande de calculer la probabilité de 𝐵 union 𝐶. En utilisant la règle concernant les événements mutuellement exclusifs, c’est égal à la probabilité de 𝐵 plus la probabilité de 𝐶. En utilisant les deux fractions ayant le même dénominateur, nous obtenons cinq dixièmes plus quatre dixièmes, ce qui fait neuf dixièmes. La probabilité de 𝐵 union 𝐶, sachant que les deux événements sont mutuellement exclusifs, est de neuf dixièmes. C’est la somme des probabilités à l’intérieur des deux cercles du diagramme de Venn.
