Vidéo question :: Établir la relation entre la quantité de mouvement et la longueur d’onde de Broglie Physique

Transcription de la vidéo

Si un électron et un muon ont la même vitesse, quelle particule a la plus grande longueur d’onde de Broglie ?

Pour répondre à cette question, il nous faut connaître la relation entre la longueur d’onde de Broglie d’une particule et sa vitesse. On aura également besoin de savoir comment la longueur d’onde dépend des propriétés d’une particule donnée afin de comparer les électrons et les muons. La formule de la longueur d’onde de Broglie dit que 𝜆, la longueur d’onde de Broglie de la particule, est égale à ℎ, la constante de Planck, divisée par 𝑝, la quantité de mouvement de la particule. La constante de Planck est bien sûr la même pour toutes les particules. Mais la quantité de mouvement dépend à la fois de la vitesse de la particule et de ses propriétés, et notamment de sa masse. En particulier, pour des vitesses très inférieures à la vitesse de la lumière, la quantité de mouvement correspond à la masse multipliée par la vitesse, tandis que pour des vitesses approchant celle de la vitesse de la lumière, la quantité de mouvement vaut 𝛾 fois la masse multipliée par la vitesse, où 𝛾 est un facteur relatif qui dépend de la vitesse.

Le facteur 𝛾 est défini comme étant de un divisé par la racine carrée de un moins 𝑣 au carré sur 𝑐 au carré, où 𝑣 est la vitesse de la particule et 𝑐 est la vitesse de la lumière. Ce qui est important de retenir est que 𝛾 ne dépend que de la vitesse de la particule et d’aucune de ses autres propriétés. Donc, deux particules ayant la même vitesse auront le même facteur relatif 𝛾. Dans notre cas, rappelons que notre électron et notre muon ont la même vitesse. Cela signifie que la particule ayant la plus grande quantité de mouvement sera celle qui aura la masse la plus élevée. Parce que les autres facteurs utilisés pour calculer la quantité de mouvement, la vitesse pour des vitesses non relativistes ou la vitesse fois 𝛾 pour les vitesses relativistes, sont les mêmes pour les deux particules car elles ont la même vitesse.

Pour en revenir à la relation de Broglie, la longueur d’onde est inversement proportionnelle à la quantité de mouvement. Et cela signifie que la particule ayant la plus petite quantité de mouvement sera la particule qui aura la plus grande longueur d’onde de Broglie. On cherche donc la particule ayant la plus petite quantité de mouvement, qui, puisque nos deux particules se déplacent à la même vitesse, sera la particule ayant la plus petite masse au repos. Par ailleurs, on rappelle que les muons sont largement plus massifs que les électrons par un facteur d’environ 200.

Donc, parmi nos deux particules, c’est l’électron qui a la plus grande longueur d’onde de Broglie.