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Vidéo de la leçon : Positions de points, droites et cercles par rapport à des cercles Mathématiques

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à déterminer les positions de points, droites et cercles par rapport à d'autres cercles.

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Transcription de vidéo

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à déterminer les positions de points, droites et cercles par rapport à d'autres cercles. Notre objectif sera de déterminer la longueur d’une droite ou d’une mesure d’un angle en utilisant nos connaissances sur les cercles ainsi que les propriétés d’angles ou les théorèmes de cercles. Nous commencerons par rappeler certaines propriétés clés d’un cercle.

Si nous considérons le cercle tracé, il y a quatre lignes clés sur celui-ci. Le segment numéro un est le rayon. C’est la distance entre le centre d’un cercle et sa circonférence. Le segment numéro deux est une corde. Il s’agit d’un segment dont les extrémités sont sur la circonférence. Le segment numéro trois est le diamètre du cercle. Il s’agit d’un type spécial de corde qui passe par le centre du cercle. La longueur du diamètre sera toujours le double de la longueur du rayon. Enfin, nous avons la ligne numéro quatre, la tangente. Une tangente est toute droite qui coupe le cercle en un point. La tangente touchera la circonférence du cercle. Nous allons maintenant considérer quelques propriétés d’angles et les théorèmes de cercles.

Toute tangente que nous dessinons est perpendiculaire au rayon. Ceci signifie que la tangente et le rayon forment un angle de 90 degrés. Deux tangentes quelconques issues du même point sont de longueur égale. Sur notre figure, le segment 𝑥𝑦 est égal au segment 𝑥𝑧. Deux rayons quelconques d’un cercle sont aussi de longueur égale. En effet, le rayon est la distance du centre à la circonférence du cercle. En dessinant une corde comme indiqué sur cette figure, nous pouvons créer un triangle. Comme les deux côtés du triangle sont de longueur égale, nous avons un triangle isocèle. Ceci signifie que la mesure des deux angles en rose est égale.

Nous rappelons que les angles de tout triangle ont une somme de 180 degrés. Ceci signifie que si on nous donne un angle dans un triangle isocèle, nous pouvons calculer les deux autres. Nous rappelons également que les angles sur une droite ont aussi une somme de 180 degrés. Enfin, nous devrons utiliser dans cette vidéo le théorème de l’angle entre une corde et une tangente, appelé également parfois théorème des cordes-tangentes. Il énonce que, dans n’importe quel cercle, l’angle entre une corde et une tangente à travers l’une des extrémités de la corde est égal à l’angle inscrit interceptant le même arc. Ceci peut être vu sur la figure montrée où nous avons une tangente et un triangle à l’intérieur du cercle où chacun de ses sommets est sur la circonférence.

Les deux angles roses illustrés seront égaux. Il en est de même pour les deux angles bleus. L’angle entre la corde et la tangente est égal à l’angle inscrit interceptant le même arc. En considérant le troisième angle dans le triangle en vert, nous pouvons voir que l’angle bleu plus l’angle rose plus l’angle vert doivent avoir un total de 180 degrés, comme les angles dans un triangle et les angles sur une droite ont une somme de 180 degrés. Nous allons maintenant examiner quelques questions auxquelles il est possible de répondre en utilisant les propriétés abordées.

Les rayons des deux cercles sur le centre commun 𝑀 sont de trois centimètres et quatre centimètres. Quelle est la longueur du segment 𝐴𝐵 ?

On nous dit dans la question que le rayon du petit cercle est de trois centimètres. Par conséquent, la longueur 𝐴𝑀 est égale à trois centimètres. Le rayon est la distance entre le centre d’un cercle et sa circonférence. Ceci signifie donc que les segments 𝐵𝑀 et 𝐶𝑀 sont également égaux à trois centimètres. On nous dit que le plus grand cercle a un rayon de quatre centimètres. Ceci signifie que le segment DM est égal à quatre centimètres. Dans cette question, on nous demande de calculer la longueur du segment 𝐴𝐵.

Il semble que c’est le diamètre du cercle car le segment 𝐴𝐵 passe par le centre 𝑀. Comme le diamètre est deux fois la longueur du rayon, le segment 𝐴𝐵 est égal à deux fois le segment 𝐴𝑀. Nous devons multiplier trois centimètres par deux. Ceci équivaut à six centimètres. Le segment est égal à six centimètres. Même si 𝐴𝐵 n’était pas le diamètre du cercle, c’est-à-dire que ce n’était pas une droite, nous pourrions calculer sa longueur en ajoutant la distance 𝐴𝑀 à la distance 𝑀𝐵. Comme ces deux rayons sont du petit cercle, nous devons additionner trois centimètres et trois centimètres. Ceci nous donne une fois de plus une réponse de six centimètres.

Dans notre prochaine question, nous utiliserons les propriétés des tangentes et des triangles isocèles.

Étant donné que la mesure de l’angle 𝑍𝑌𝐿 est égale à 122 degrés, trouvez la mesure de l’angle 𝑋.

Sur notre figure, nous avons deux tangentes à partir du point 𝑋. La partie supérieure touche le cercle au point 𝑍 et la partie inférieure touche le cercle au point 𝑌. Nous avons également une corde dessinée sur le cercle à partir du point 𝑍 jusqu’au point 𝑌. On nous dit que la mesure de l’angle 𝑍𝑌𝐿 est de 122 degrés. Nous rappelons que deux tangentes issues du même point doivent être de même longueur. Ceci signifie que le segment 𝑋Z est égal au segment 𝑋𝑌. Le triangle 𝑋𝑌𝑍 est donc isocèle, car il a deux côtés de même longueur. Dans tout triangle isocèle, la mesure de deux angles est égale. Dans ce cas, l’angle 𝑋𝑌𝑍 est égal à l’angle 𝑋𝑍𝑌.

Les angles sur une droite ont une somme de 180 degrés. Ceci signifie que nous pouvons calculer la mesure de l’angle 𝑋𝑌𝑍 en soustrayant 122 de 180. Ceci équivaut à 58 degrés. Les angles 𝑋𝑌𝑍 et 𝑋𝑍𝑌 sont tous deux égaux à 58 degrés. Notre objectif dans cette question est de trouver la mesure de l’angle 𝑋, et nous savons que les angles d’un triangle ont également une somme de 180 degrés. L’angle 𝑋 est donc égal à 180 moins 58 plus 58. 58 plus 58 est égal à 116, et soustraire ceci de 180 nous donne 64. La mesure de l’angle 𝑋 est donc égale à 64 degrés.

Dans notre prochaine question, nous utiliserons le théorème de l’angle entre une corde et une tangente.

Étant donné que 𝐵𝐶 est une tangente au cercle de centre 𝑀 et que la mesure de l’angle 𝐴𝑀𝐷 est de 97 degrés, trouvez la mesure de l’angle 𝐶𝐵𝐷.

Nous savons que dans tout cercle, une tangente et un rayon ou une tangente et un diamètre se rencontrent à 90 degrés. On nous dit dans la question que la mesure de l’angle 𝐴𝑀𝐷 est de 97 degrés. Nous devons calculer la mesure de l’angle 𝐶𝐵𝐷. Le théorème de l’angle entre une corde et une tangente indique que, dans n’importe quel cercle, l’angle entre une corde et une tangente à l’une des extrémités de la corde est égal à l’angle inscrit interceptant le même arc. Dans cette question, la mesure de l’angle 𝐶𝐵𝐷 est égale à l’angle 𝐵𝐴𝐷.

Voyons maintenant comment nous pouvons calculer l’angle 𝐵𝐴𝐷 en utilisant les informations sur la figure. Le triangle 𝑀𝐴𝐷 est isocèle car le segment 𝑀𝐴 est égal au segment 𝑀𝐷. Ce sont les deux rayons du cercle. Ceci signifie que les angles à l’intérieur du triangle, l’angle 𝑀𝐴𝐷 et l’angle 𝑀𝐷𝐴, sont égaux. Ceux-ci peuvent être calculés en soustrayant 97 de 180 puis en divisant par deux. 180 moins 97 est égal à 83. En le divisant par deux ou en calculant la moitié, nous obtenons 41,5. Les angles 𝑀𝐴𝐷 et 𝑀𝐷𝐴 sont tous deux égaux à 41,5 degrés. Comme l’angle 𝑀𝐴𝐷 est le même que l’angle 𝐵𝐴𝐷, nous pouvons voir, en utilisant le théorème de l’angle entre une corde et une tangente, que la mesure de l’angle 𝐶𝐵𝐷 est également de 41,5 degrés.

Dans nos deux prochaines questions, nous devrons utiliser l’algèbre pour calculer les valeurs manquantes.

Étant donné que 𝐴𝐷 est une tangente au cercle et que la mesure de l’angle 𝐷𝐴𝐶 est de 90 degrés, calculez la mesure de l’angle 𝐴𝐶𝐵.

On nous dit dans la question que 𝐴𝐷 est une tangente et que la mesure de l’angle 𝐷𝐴𝐶 est de 90 degrés. Nous savons que la tangente à un cercle est perpendiculaire au rayon ou au diamètre. Ceci signifie que, dans cette question, 𝐴𝐶 est un diamètre du cercle. Nous pourrions utiliser deux propriétés d’angles possibles ou des théorèmes de cercles pour résoudre ce problème. Tout d’abord, nous pourrions utiliser le fait que l’angle dans un demi-cercle est égal à 90 degrés. Ceci signifie que la mesure de l’angle 𝐴𝐵𝐶 est de 90 degrés. Nous aurions également pu le trouver en utilisant le théorème de l’angle entre une corde et une tangente, où la mesure de l’angle 𝐷𝐴𝐶 est égale à la mesure de l’angle 𝐴𝐵𝐶. De toute façon, nous savons que 𝐴𝐵𝐶 est égal à 90 degrés.

Nous devons maintenant résoudre l’équation neuf 𝑥 est égal à 90. Diviser les deux membres de cette équation par neuf nous donne 𝑥 est égal à 10. Notre valeur de 𝑥 est de 10 degrés. Nous pouvons voir sur la figure que la mesure de l’angle 𝐴𝐶𝐵 est de cinq 𝑥. Comme 𝑥 est égal à 10 degrés, nous devons ceci multiplier par cinq. Cinq multiplié par 10 est égal à 50. Par conséquent, l’angle 𝐴𝐶𝐵 est égal à 50 degrés.

Dans notre dernière question, nous allons introduire un nouveau théorème appelé théorème des tangentes-sécantes.

Sur la figure, deux cercles de centre 𝑀 et 𝑁 sont tangents extérieurement en 𝐴, qui est un point de la tangente commune 𝐿, où le segment 𝐴𝐵 est une tangente commune. Supposons que 𝐴𝐵 est égal à 𝑀𝑁 qui est égal à 45,5 centimètres et 𝐵𝐶 est égal à 30,5 centimètres. Trouvez 𝐴𝑁 au dixième près.

On nous dit dans la question que les longueurs de 𝐴𝐵 et 𝑀𝑁 sont toutes deux égales à 45,5 centimètres. 𝑀𝑁 est la somme des rayons des deux cercles. C’est 𝑟 un plus 𝑟 deux, où 𝑟 un est la longueur 𝐴𝑁 et 𝑟 deux est la longueur 𝐴𝑀. C’est la valeur de 𝐴𝑁 ou 𝑟 un que nous essayons de trouver dans cette question. On nous dit aussi que la longueur de 𝐵𝐶 est de 30,5 centimètres. Si nous considérons le triangle rectangle 𝐴𝐵𝐷, nous pourrions utiliser le théorème de Pythagore pour calculer une longueur manquante. Ceci indique que 𝑎 au carré plus 𝑏 au carré est égal à 𝑐 au carré, où 𝑐 est égal à la longueur du côté le plus long ou de l’hypoténuse.

Dans cette question, 𝐵𝐴 au carré plus 𝐴𝐷 au carré est égal à 𝐵𝐷 au carré. Nous savons que la longueur de 𝐵𝐴 ou 𝐴𝐵 est de 45,5 centimètres. Cependant, nous ne connaissons pas actuellement la longueur des deux autres côtés. Nous pourrons cependant calculer la longueur de 𝐵𝐷 en utilisant le théorème des tangentes-sécantes. Ceci indique que le produit des longueurs du segment sécant et de son segment externe égale le carré de la longueur du segment tangent. Le segment externe est la longueur 𝐵𝐶, le segment sécant est 𝐵𝐷, et le segment tangent est 𝐵𝐴. Par conséquent, 𝐵𝐶 multiplié par 𝐵𝐷 est égal à 𝐵𝐴 au carré. En remplaçant dans les valeurs que nous connaissons, 30,5 multiplié par 𝐵𝐷 est égal à 45,5 au carré. Diviser les deux membres de cette équation par 30,5 nous donne une valeur de 𝐵𝐷 égale à 67,877 et ainsi de suite. Nous pouvons maintenant remplacer cette valeur dans le théorème de Pythagore. 45,5 au carré plus 𝐴𝐷 au carré est égal à 67,877 au carré.

Nous allons maintenant libérer de la place afin que nous puissions continuer ce calcul. La soustraction de 45,5 au carré des deux membres nous donne 𝐴𝐷 au carré égal à 67,877 au carré moins 45,5 au carré. Taper le membre droit dans notre calculatrice nous donne 2537,043 et ainsi de suite. Nous pouvons alors appliquer la racine carrée des deux membres de cette équation de sorte que 𝐴𝐷 est égal à 50,369 et ainsi de suite. 𝐴𝐷 est le diamètre du grand cercle. On peut donc calculer le rayon 𝐴𝑀 en divisant cette valeur par deux. Ceci équivaut à 25,184 et ainsi de suite. Arrondir au dixième près nous donne 25,2 centimètres. Le rayon 𝐴𝑀 est de 25,2 centimètres.

Nous pouvons maintenant utiliser le fait que 𝑀𝑁 est égal à 45,5 centimètres pour calculer la longueur de 𝐴𝑁. 𝐴𝑁 sera égal à 𝑀𝑁 moins 𝐴𝑀. Nous devons soustraire 25,2 de 45,5. Ceci équivaut à 20,3 centimètres. La longueur de 𝐴𝑁 au dixième près est de 20,3 centimètres.

Nous allons maintenant résumer les points clés de cette vidéo. Nous pouvons utiliser le rayon et le diamètre ainsi que toutes les cordes et les tangentes pour résoudre des problèmes impliquant des longueurs et des angles inconnus dans un cercle. Comme nous l’avons vu dans notre dernière question, le théorème de Pythagore et le théorème des tangentes-sécantes peuvent être utilisés pour calculer les longueurs manquantes. Les propriétés d’angles et les théorèmes de cercles peuvent être utilisés pour calculer les angles manquants. Ceux-ci comprennent les faits selon lesquels les angles dans un triangle ont une somme de180 degrés, deux angles dans un triangle isocèle sont égaux, une tangente rencontre le rayon à 90 degrés, l’angle dans un demi-cercle est de 90 degrés et le théorème de l’angle entre une corde et une tangente, qui énonce que l’angle entre une corde et une tangente à travers l’une des extrémités de la corde est égal à l’angle inscrit interceptant le même arc. Il existe également plusieurs autres théorèmes de cercles qui n’ont pas été abordés dans cette vidéo.

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