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Déterminez la limite lorsque 𝑚 tend vers ∞ de un moins deux sur 𝑚 le tout élevé à la puissance huit 𝑚𝑥.
Dans cette question, on nous demande de déterminer une limite. Nous pouvons voir que nous cherchons notre limite lorsque 𝑚 tend vers ∞. La première chose que nous pouvons toujours essayer quand on nous demande d’évaluer une limite est de le faire directement. Cependant, si nous essayons de le faire, nous rencontrons immédiatement un problème. À l’intérieur de nos parenthèses, lorsque 𝑚 tend vers ∞, moins deux divisé par 𝑚 tend vers zéro car le numérateur de cette fraction reste constant. Cependant, le dénominateur croît sans limite. Si nous regardons notre exposant, nous pouvons voir qu’il est égal à huit fois 𝑚𝑥. Comme 𝑚 tend vers ∞, cela va tendre vers ∞.
Ainsi, lorsque 𝑚 tend vers ∞, à l’intérieur de nos parenthèses, nous avons un moins zéro, donc cela tend vers un et notre exposant tend vers ∞. Ainsi, cette limite tend vers un puissance ∞. Puisqu’il s’agit d’une forme indéterminée, nous ne pouvons pas évaluer cette limite directement. Nous allons devoir utiliser une autre méthode.
A ce stade, nous pouvons essayer beaucoup de choses différentes pour évaluer notre limite. Par exemple, nous pourrions utiliser une manipulation algébrique pour changer l’expression à l’intérieur de nos parenthèses. Cependant, le moyen le plus simple d’évaluer cette limite sera d’utiliser l’un de nos résultats de limites exprimant le nombre d’Euler. Nous rappelons que la limite lorsque 𝑢 tend vers zéro de un plus 𝑢 le tout élevé à la puissance un sur 𝑢 est égale au nombre d’Euler 𝑒. En fait, nous savons qu’il y a deux résultats de limites exprimant le nombre d’Euler 𝑒. Nous pouvons utiliser l’un ou l’autre pour évaluer cette limite. Il est très difficile de déterminer le résultat de limite que nous devrions utiliser simplement en regardant notre limite. Ainsi, si nous rencontrons des difficultés avec l’un, nous devons essayer d’utiliser l’autre. Nous allons donc essayer de manipuler notre limite pour qu’elle soit sous la forme où nous pouvons utiliser notre résultat de limite.
Pour ce faire, nous voulons d’abord que l’expression à l’intérieur de nos parenthèses soit sous la forme un plus 𝑢, nous le ferons en utilisant une substitution. Nous allons simplement substituer 𝑢 égale moins deux sur 𝑚. Nous avons donc réécrit notre limite comme la limite lorsque 𝑚 tend vers ∞ de un plus 𝑢 le tout élevé à la puissance huit 𝑚𝑥. Cependant, cela ne nous aide pas encore à évaluer notre limite car maintenant nous avons une limite lorsque 𝑚 tend vers ∞, nous avons 𝑢 est une fonction de 𝑚 et 𝑚 est toujours dans notre limite. Nous allons donc devoir réécrire toute notre limite en fonction de 𝑢. Pour ce faire, nous allons devoir trouver une expression pour 𝑚 en fonction de 𝑢. Nous allons donc devoir réorganiser notre substitution.
Nous multiplions par 𝑚, puis divisons par 𝑢 pour obtenir 𝑚 égale moins deux divisé par 𝑢. Nous avons donc maintenant une expression pour 𝑚 et nous pouvons la substituer directement dans notre limite. Cependant, nous devons également savoir ce qui arrive à notre valeur de 𝑢 lorsque 𝑚 tend vers ∞. Nous pouvons le faire en utilisant l’une ou l’autre des deux équations que nous avons obtenues de notre substitution. Cependant, il est plus facile de voir cela dans l’équation supérieure. Lorsque 𝑚 tend vers ∞, moins deux sur 𝑚 tend vers zéro à gauche. Cela signifie que 𝑢 tend vers zéro à gauche.
Nous sommes maintenant prêts à utiliser cette substitution pour réécrire notre limite. Premièrement, nous avons montré que lorsque 𝑚 tend vers ∞, 𝑢 tend vers zéro à gauche, cependant, cela n’est pas strictement nécessaire. Nous pouvons simplement réécrire cela en limite lorsque 𝑢 tend vers zéro. Puisque nous savons que si la limite lorsque 𝑢 tend vers zéro est égale à un certain nombre, alors les limites à gauche et à droite lorsque 𝑢 tend vers zéro seront également égales à ce nombre. Ensuite, nous substituons 𝑚 égale moins deux sur 𝑢 pour obtenir la limite lorsque 𝑢 tend vers zéro de un plus 𝑢 le tout élevé à la puissance huit multiplié par moins deux sur 𝑢 fois 𝑥. Nous sommes maintenant presque prêts à utiliser notre résultat de limite. Nous pouvons voir que notre limite est lorsque 𝑢 tend vers zéro. Nous pouvons voir que nous avons un plus 𝑢 à l’intérieur de nos parenthèses. Tout ce qu’il nous reste à faire est de réécrire cela pour avoir notre exposant un sur 𝑢.
Pour ce faire, nous allons devoir simplifier notre exposant. Puisque nous voulons un exposant un sur 𝑢, nous allons mettre en évidence un facteur un sur 𝑢 dans notre exposant, puis simplifier ce qui reste. Nous obtenons que notre exposant est un sur 𝑢 fois moins 16𝑥. Maintenant, notre limite est presque sous une forme où nous pouvons utiliser directement notre résultat de limite. Nous allons devoir supprimer de notre limite le moins 16𝑥 dans notre exposant. Puisqu’il s’agit d’un exposant à l’intérieur d’une limite, nous allons devoir utiliser nos lois des exposants et la règle de puissance pour les limites.
Premièrement, en utilisant nos lois des exposants, nous savons que 𝑎 à la puissance 𝑏 fois 𝑐 est égal à 𝑎 à la puissance 𝑏 le tout élevé à la puissance 𝑐. Ainsi, à l’intérieur de notre limite, nous pouvons réécrire ceci comme un plus 𝑢 le tout élevé à la puissance un sur 𝑢 le tout élevé à la puissance moins 16𝑥. Nous pourrions vouloir appliquer directement notre résultat de limite à ce stade. Cependant, nous ne pouvons pas encore le faire car, rappelez-vous, l’exposant de moins 16𝑥 est toujours à l’intérieur de notre limite. Ainsi, pour prendre l’exposant moins 16𝑥 en dehors de notre limite, nous allons devoir utiliser la règle des puissances pour les limites. Cela nous permettra ensuite d’utiliser notre résultat de limite pour évaluer cette limite.
Rappelons que la règle de puissance pour les limites nous dit que la limite lorsque 𝑛 tend vers 𝑎 de 𝑓 de 𝑛 élevé à la puissance 𝑘 est égale à la limite lorsque 𝑛 tend vers 𝑎 de 𝑓 de 𝑛 le tout élevé à la puissance 𝑘. Nous pouvons garantir que cela est vrai à condition que la limite lorsque 𝑛 tend vers 𝑎 de 𝑓 de 𝑛 existe et que cela élevé à la puissance 𝑘 existe. Dans le cas où nous l’utilisons, nous pourrons montrer que ces deux affirmations sont vraies. La façon la plus simple de voir que ces deux conditions préalables sont vraies sera d’écrire la ligne suivante de notre calcul en supposant que notre résultat sera valable. En appliquant la règle de la puissance pour les limites, nous obtiendrions que cela est égal à la limite lorsque 𝑢 tend vers zéro de un plus 𝑢 le tout élevé à la puissance un sur 𝑢. Puis, en dehors de notre limite, nous élevons tout cela à la puissance moins 16𝑥.
Les deux conditions préalables que nous devons remplir sont que la limite à l’intérieur de cette expression existe. Bien, nous savons que ceci est notre résultat de limite ; nous savons que cela est égal à 𝑒. Nous devons également vérifier qu’élever cela à notre exposant est possible. Par exemple, nous ne sommes pas autorisés à calculer la racine carrée d’un nombre négatif. Bien sûr, dans ce cas, nous pouvons voir qu’élever à n’importe quelle puissance est possible car 𝑒 est positif. Nous pouvons toujours élever cela à n’importe quel exposant. Ainsi, nos deux conditions préalables sont vraies et nous sommes autorisés à utiliser la règle de puissance pour les limites dans ce cas. Ensuite, tout ce que nous devons faire est d’utiliser notre résultat de limite exprimant le nombre d’Euler 𝑒 pour réécrire ceci comme 𝑒 à la puissance moins 16𝑥, ce qui est notre réponse finale.
Par conséquent, nous avons pu montrer que la limite lorsque 𝑚 tend vers ∞ de un moins deux sur 𝑚 le tout élevé à la puissance huit 𝑚𝑥 est égale à 𝑒 à la puissance moins 16𝑥 pour toute valeur de 𝑥.
