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Vidéo de question : Utilisation de la loi des sinus pour calculer un angle inconnu d’un triangle Mathématiques

𝐴𝐵𝐶 est un triangle, où 𝑎 = 9, 𝑏 = 6 et 𝑚∠𝐴 = 58,1°. Déterminez la mesure de l’angle 𝑚∠𝐵 au dixième de degré près.

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Transcription de vidéo

𝐴𝐵𝐶 est un triangle, où 𝑎 est égal à neuf, 𝑏 est égal à six et l’angle 𝐴 mesure 58,1 degrés. Trouvez la mesure de l’angle 𝐵 au dixième de degré près.

Commençons par tracer ce triangle. Rappelez-vous que le schéma n’a pas besoin d’être à l’échelle. Mais c’est mieux s’il est à peu près proportionnel. Ça permet de vérifier la pertinence des réponses obtenues. L’angle 𝐴 mesure 58,1 degrés. Rappelons que le côté opposé à l’angle 𝐴 se note 𝑎 minuscule. Donc, il vaut neuf. De même, le côté opposé à l’angle 𝐵 se note 𝑏 minuscule. Il vaut six.

Nous avons donc un triangle non rectangle, duquel nous connaissons deux côtés et un angle. Il faut se décider entre la loi des cosinus (théorème d’Al Kashi) et la loi des sinus. La loi des cosinus est utilisée lorsque nous connaissons ou essayons de calculer la mesure de l’angle formé par deux côtés connus.

Dans notre schéma, cet angle est 𝐶. C’est celui qui se trouve entre les deux côtés connus. Mais comme la mesure de cet angle est inconnue, il vaut mieux utiliser la loi des sinus : sin 𝐴 sur 𝑎 égale sin 𝐵 sur 𝑏 égale sin 𝐶 sur 𝑐. Il faut faire attention aux paires des côtés et leurs angles associés : les angles doivent se trouver en face des côtés, comme dans ce triangle.

Dans la loi des sinus, il suffit d’utiliser deux parties des égalités. Ici, nous connaissons la longueur du côté 𝑎 et l’angle 𝐴. Nous connaissons la longueur du côté 𝑏 et nous cherchons à calculer l’angle 𝐵. Nous utilisons donc sin 𝐴 sur 𝑎 égale sin 𝐵 sur 𝑏. Utilisons dans cette formule les valeurs connues.

N’oubliez pas que cette formule peut s’utiliser dans les deux sens. Pour un calcul d’angle, il est judicieux de placer au numérateur la partie de la formule avec les sinus, afin de faciliter la résolution de l’équation. Ici, l’équation devient sin de 58,1 degrés sur neuf est égal à sin de 𝐵 degrés divisé par six.

On résout cette équation en multipliant chaque côté par six. sin 𝐵 est égal à sin de 58,1 degrés divisé par neuf multiplié par six. À l’aide de la calculatrice, on obtient que le sinus de 𝐵 est égal à 0,5659.

Ensuite, calculons la réciproque du sinus de chaque côté de l’équation. On fait cela parce que la réciproque du sinus de sin 𝐵 est simplement égale à 𝐵. On utilise la valeur exacte calculée précédemment, cela minimise les erreurs de calculs dues à un arrondissement trop précoce. 𝐵 est égal à la réciproque du sinus de 0,5659. On obtient que l’angle 𝐵 mesure 34,470.

Arrondi au dixième de degré près, l’angle 𝐵 mesure 34,5 degrés.

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