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Vidéo de question : Déterminer le taux de variation de l’aire d’une sphère qui rétrécit compte tenu du taux de variation de son volume en utilisant des taux liés Mathématiques

Un ballon sphérique gonflé à l’hélium a une fuite selon un débit de 48 cm³/s. Quel est le taux de variation de l’aire du ballon lorsque le rayon vaut 41 cm ?

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Transcription de vidéo

Un ballon sphérique gonflé à l’hélium a une fuite selon un débit de 48 centimètres cubes par seconde. Quel est le taux de variation de l’aire du ballon lorsque le rayon vaut 41 centimètres ?

La première chose à identifier à propos de cette question est qu’il s’agit d’un problème de taux liés. C’est-à-dire un problème dans lequel deux quantités liées changent avec le temps. On nous parle d’un ballon sphérique. Rappelons que l’une des caractéristiques déterminantes d’une sphère est son rayon, c’est-à-dire la distance entre le centre de la sphère et sa circonférence. Nous pouvons l’indiquer sur le diagramme. Examinons maintenant la question plus en détail. La première information qui nous est donnée est le taux de fuite de l’hélium en centimètres cubes par seconde. Ici, on nous donne le volume d’hélium perdu par unité de temps.

Ensuite, on nous demande le taux de variation de l’aire lorsque le rayon prend une valeur donnée. Il s’agit en réalité du taux de variation de l’aire par unité de temps. Les premiers outils dont nous aurons besoin pour cette question sont les formules du volume et de l’aire d’une sphère par rapport à son rayon. Je pense que vous les connaissez déjà. Le volume d’une sphère que nous appelons 𝑉 est égal à quatre tiers de pi 𝑟 au cube. L’aire d’une sphère que nous appelons 𝐴 est égale à quatre pi 𝑟 au carré.

D’accord, la question nous a donc demandé de trouver le taux de variation de la surface par rapport au temps. Nous pouvons l’exprimer comme d𝐴 sur d𝑡. Malheureusement, la formule que nous avons pour le volume est en fonction du rayon de la sphère au lieu du temps. Cela signifie que nous ne pouvons pas directement dériver notre formule et atteindre le résultat souhaité. Au lieu de cela, nous allons utiliser une application de la règle de dérivation en chaîne pour avancer. Autrement dit, d𝐴 sur d𝑡 est égal à d𝐴 sur d𝑟 multiplié par d𝑟 sur d𝑡. Ici, nous pouvons voir que le premier de ces termes est la dérivée de l’aire par rapport au rayon. Puisque nous avons une formule pour l’aire en termes de rayon, nous pouvons utiliser la dérivation pour trouver ce terme.

En dérivant quatre pi 𝑟 au carré par rapport à 𝑟, on obtient huit pi 𝑟. Cette expression peut être replacée dans notre équation pour d𝐴 sur d𝑡. Après avoir replacé ceci dans notre équation, nous sommes toujours bloqués avec ce terme d𝑟 sur d𝑡. Il représente le taux de variation du rayon par rapport au temps, mais nous n’avons pas d’expression pour le moment. Nous avons uniquement des formules pour le volume et l’aire en fonction du rayon. Pour avancer, nous devrons les utiliser pour exprimer d𝑟 sur d𝑡 de manière plus utile. Pour ce faire, revenons à la première information qui nous est donnée dans la question.

Le ballon perd son hélium à un taux de 48 centimètres cubes par seconde. Ici, on nous donne le taux de variation du volume par rapport au temps, c’est-à-dire d𝑉 sur d𝑡. On dit que le ballon perd de l’hélium. Nous disons donc que le taux de variation est moins 48 centimètres cubes par seconde. Il convient également de noter ici que plus le temps augmente, plus le volume diminue. En d’autres termes, le ballon rétrécit. Logiquement, comme la forme reste une sphère, nous devrions nous attendre à ce que l’aire du ballon qui rétrécit diminue également avec le temps. Lorsque nous arriverons enfin à la réponse à notre question, nous devrions donc voir un nombre négatif représentant le fait que l’aire diminue avec le temps lorsque le rayon du ballon est de 41 centimètres.

De plus, rappelons simplement que tout au long du problème, les unités de longueur dans le système sont des centimètres et les unités de temps sont des secondes. Cela nous permet de mettre de côté les unités lors de nos calculs et de les rajouter à la fin de la question. Nous avons maintenant que d𝑉 sur d𝑡 est égal à moins 48, mais cela ne nous aide pas encore pour ré-exprimer d𝑟 sur d𝑡. Au lieu de cela, nous pouvons revenir à l’astuce précédente que nous avons utilisée avec la règle de dérivation en chaîne. Elle nous permet d’établir une affirmation équivalente selon laquelle d𝑉 sur d𝑡 est égal à d𝑉 sur d𝑟 multiplié par d𝑟 sur d𝑡. Puisque ces deux affirmations sont équivalentes, nous pouvons également dire que ceci est égal à moins 48.

En regardant les formules originales, nous avons une équation de 𝑉 en fonction de 𝑟. Cela signifie que nous pouvons avancer en trouvant d𝑉 sur d𝑟. En utilisant la dérivation et une petite simplification, nous trouvons que d𝑉 sur d𝑟 est égal à quatre pi 𝑟 au carré. Replaçons ce résultat dans l’équation. Maintenant, diviser les deux côtés de l’équation par quatre pi 𝑟 au carré nous permet d’isoler d𝑟 sur d𝑡 dans le membre de gauche. C’est maintenant une équation exprimant d𝑟 sur d𝑡 en fonction du rayon de la sphère.

Il convient de mentionner que nous devons faire attention car l’équation implique maintenant une division par la variable 𝑟. Dans ce cas, l’équation nous oblige à diviser par zéro lorsque 𝑟 est égal à zéro. Et par conséquent, d𝑟 sur d𝑡 est indéfinie à ce stade. Heureusement, nous savons que le ballon rétrécit et que nous évaluerons le système lorsque le rayon sera de 41 centimètres. Cela signifie que le point indéfini lorsque le rayon est nul ne nous intéresse pas. Maintenant, nous pouvons simplifier le membre de droite de l’équation pour trouver que d𝑟 sur d𝑡 est égal à moins 12 sur pi 𝑟 au carré.

Génial ! Replaçons ceci dans l’équation de d𝐴 sur d𝑡. À la droite de cette équation, nous avons maintenant huit pi 𝑟 multiplié par moins 12 sur pi 𝑟 au carré. Nous pouvons éliminer les termes pi et l’un des termes 𝑟 du dénominateur. Nous multiplions également huit par moins 12. Cela nous laisse avec d𝐴 sur d𝑡 égale moins 96 sur 𝑟. Nous avons maintenant une expression générale qui nous permet de trouver le taux de variation de l’aire de notre ballon par rapport au temps pour un rayon donné 𝑟. Rappelez-vous que cela n’est pas valable dans le cas où 𝑟 est égal à zéro, comme nous l’avons mentionné précédemment.

Pour notre dernière étape, nous rappelons que la question nous a demandé d𝐴 sur d𝑡 lorsque le rayon est de 41 centimètres. Nous sommes maintenant en mesure de substituer directement la valeur de 41 à notre équation. Comme il n’y a pas de simplifications utiles pour la fraction moins 96 sur 41, nous pouvons laisser notre réponse telle quelle. Cependant, nous devons ajouter les unités de surface par rapport au temps, c’est-à-dire des centimètres par seconde.

Très bien ! Nous avons maintenant trouvé que le taux de variation de l’aire du ballon est moins 96 sur 41 centimètres carrés par seconde lorsque le rayon du ballon est de 41 centimètres. C’est la réponse à notre question. Enfin, le résultat négatif que nous voyons correspond à notre observation précédente disant que le taux de variation de l’aire devrait être négatif, car le ballon rétrécit.

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