Transcription de la vidéo
Calculez le volume du solide obtenu par une rotation de la région délimitée par la courbe 𝑦 au carré égale à 𝑥 et la droite d’équation 𝑥 égale à trois 𝑦 autour de l’axe des 𝑦.
Donc, pour que nous puissions répondre à cette question, la première chose que j’ai faite c’est un dessin. J’ai donc esquisser nos courbes. Donc, j’ai fait 𝑥 est égal à trois 𝑦. Mais je ne l’ai fait que dans le quadrant positif de 𝑥 et de 𝑦. Voilà donc notre quadrant supérieur droit. Et j’ai également dessiné la courbe représentative de 𝑥 est égal à 𝑦 au carré. Donc, ce que nous recherchons, c’est la région délimitée par la courbe 𝑦 au carré égale à 𝑥 et la droite 𝑥 égale à trois 𝑦. Donc, j’ai colorié cela en utilisant du bleu. Et puis, nous voulons faire tourner cela autour de l’axe des 𝑦. C’est la raison pour laquelle je n’ai pas inclus les autres parties du graphique 𝑥 égal 𝑦 au carré, car cela ne sera pas pertinent pour ce que nous recherchons. Mais pour montrer à peu près où elle serait je l’ai dessinée en pointillés rose.
Alors maintenant, faisons tourner cela et réfléchissons au type de forme que nous examinons. Eh bien, si nous faisons pivoter la figure, nous allons avoir une sorte de mince bol, avec un trou au milieu. Pour cela, nous allons utiliser ce qu’on appelle la méthode de la couronne. Considérons une petite section de notre zone et imaginons que nous l’avons ensuite tournée autour de l’axe des 𝑦. Nous formons un peu comme un anneau, ce que j’ai montré ici avec un dessin très simple.
Donc, si je veux déterminer l’aire de de cet anneau, la partie qui se trouve au milieu. Pour cela, je dois regarder le grand cercle et le petit cercle. Donc, en prenant grand 𝑅 notre rayon le plus large et petit 𝑟 notre rayon le plus petit. L’aire serait égale à 𝜋𝑅 au carré moins 𝜋 petit 𝑟 au carré, et nous pourrions prendre 𝜋 comme facteur. Donc, on pourrait écrire 𝜋 puis grand 𝑅 au carré moins petit 𝑟 au carré. Ok. Cela nous donne donc une surface, ce qui est génial. Mais dans la question, nous cherchons un volume. Eh bien, si nous pouvions penser au volume, cela signifierait que la petite section que nous avons devrait avoir une hauteur minuscule pour lui donner une épaisseur. Et cette petite hauteur ou épaisseur serait d𝑦, un très petit changement de 𝑦. Nous pouvons donc dire que le volume serait égal à 𝜋 multiplié par le grand 𝑅 au carré moins le petit 𝑟 au carré d𝑦.
D’accord, super. Nous avons donc maintenant une expression de notre volume. C’est très utile, mais ce n’est que le volume d’une petite section. Comment trouver le volume de l’ensemble de la zone dont nous cherchons la réponse ? Eh bien, pour trouver le volume pour la zone entière, nous utilisons l’intégration. Car lorsque nous intégrons entre deux limites, nous disons qu’il y a une quantité infinie de ces petites bandes. Nous avons une quantité infinie parce que si ce n’était pas une quantité infinie et si c’était juste une très grande quantité de ces minuscules petites bandes. Alors, nous aurions simplement une estimation du volume. Mais nous voulons sa valeur exacte. Et c’est pourquoi nous utilisons l’intégration entre deux bornes. On peut donc dire que si nous voulons trouver le volume, il sera égal à l’intégrale entre les bornes 𝑏 et 𝑎 de 𝜋 multipliée par 𝑅 au carré moins 𝑟 au carré d𝑦. Et c’est grand 𝑅 carré moins petit 𝑟 carré d𝑦. D’accord, alors maintenant, utilisons cela pour résoudre le problème.
La première chose que nous allons faire c’est déterminer quelles sont nos limites. Eh bien, nos limites vont être les valeurs de 𝑦 parce que nous avons affaire à 𝑦. Donc, la première est assez simple. Ça va être zéro. Donc, notre limite inférieure va être zéro. Et c’est parce que nous pouvons voir que la courbe et la droite se croisent en zéro. Pour trouver la limite supérieure, nous devons voir où se croisent notre droite et notre courbe. Eh bien, là où elles se croisent, les deux les deux équations vont être égales. On peut donc dire que trois 𝑦 est égal à 𝑦 au carré. Donc, si nous réorganisons cela, nous aurons 𝑦 au carré moins trois 𝑦 est égal à zéro. Nous pouvons factoriser par 𝑦. Ce qui nous donne 𝑦 multiplié par 𝑦 moins trois est égal à zéro.
Donc, soit 𝑦 soit 𝑦 moins trois doit être égal à zéro. Nous savons déjà que si 𝑦 est égal à zéro, ce sera l’une de nos limites, ce que nous avons déjà montré. Donc, notre limite supérieure va être la valeur de 𝑦 qui fait que 𝑦 moins trois est égal à zéro. Donc, trois. Donc, nous pouvons dire que notre limite supérieure va être trois. Et vérifions que cela a du sens. Eh bien, trois multiplié par trois donne neuf. Trois au carré donne neuf. Alors oui, cela a du sens. Maintenant, nous avons nos limites supérieure et inférieure. Je vais maintenant sortir 𝜋 de l’intégrale parce que c’est juste une constante. Et cela n’affectera pas notre intégration.
Alors maintenant, nous devons décider ce que vont être grands 𝑅 et petits 𝑟. Pour nous aider, ce que j’ai fait, c’est dégagé un peu d’espace dans le graphique. Maintenant, j’ai dessiné ce que va être grand 𝑅. Et grand 𝑅 va être égal à trois 𝑦. Donc, grand 𝑅 va être égal à trois 𝑦 parce que c’est le plus grand rayon. Parce que si nous partons de l’axe des 𝑦, le plus grand rayon sera la droite 𝑥 égale trois 𝑦. Alors que le petit 𝑟 va être égal à 𝑦 au carré, parce que si nous traversons l’axe des 𝑦, la première ligne que nous rencontrons est 𝑥 égale 𝑦 carré. Donc, pour trouver le volume du solide obtenu en faisant tourner la région délimitée par la courbe 𝑦 au carré est égal à 𝑥 et la droite 𝑥 est égale à trois 𝑦 autour de l’axe des 𝑦, nous les mettons dans notre intégrale définie et nous mettons le 𝜋 devant comme nous en avons parlé précédemment. Ainsi il faut déterminer la valeur de 𝜋 multiplié par l’intégrale définie entre les limites zéro et trois de trois 𝑦, le tout au carré, moins 𝑦 au carré.
Pour trouver la valeur d’une intégrale définie entre les limites 𝑏 et 𝑎, nous intégrons la fonction. Ensuite, nous substituons 𝑏 à 𝑥 dans l’expression de l’intégrale et nous lui soustrayons la valeur de l’intégrale en 𝑎. Donc, la première chose que j’ai faite, c’est de développer les parenthèses pour nous aider. Alors maintenant, ce que nous allons faire, c’est trouver l’intégrale définie entre les limites de trois et zéro de neuf 𝑦 au carré moins 𝑦 à la puissance quatre. Et lorsque nous intégrons, il ne nous reste plus que trois 𝑦 au cube moins 𝑦 à la puissance cinq sur cinq. Et encore une fois, nous allons évaluer cela entre les limites trois et zéro. Pour rappel, pour intégrer, nous augmentons l’exposant d’une unité. Nous avions deux. Et nous en avons ajouté un, ce qui nous donne trois. Et puis, nous divisons par le nouvel exposant. Donc, neuf divisé par trois nous donne notre trois. Nous obtenons donc trois 𝑦 au cube.
Ok. Alors maintenant, calculons. Ainsi, lorsque nous calculons, nous obtenons 𝜋 multiplié par. Et puis, nous avons trois multiplié par trois au cube moins trois à la puissance cinq sur cinq, et ensuite moins zéro. Et c'est parce que si on remplace par zéro, ces deux termes seront égaux à zéro. Donc, cela va être égal à 81 moins 243 sur cinq. Cela va donc être égal à 𝜋 multiplié par. Et maintenant, ce que j’ai fait, c’est que j’ai converti 81 en cinquièmes. Nous obtenons donc 405 sur cinq moins 243 sur cinq.
Nous pouvons donc dire que le volume du solide obtenu en faisant tourner la zone délimitée par la courbe d’équation 𝑦 au carré est égale 𝑥 et la droite 𝑥 égale trois 𝑦 autour de l’axe des 𝑦 sera égale à 162𝜋 sur cinq. Et c’est la valeur de 𝜋 multiplié par l’intégrale définie entre les limites trois et zéro de trois 𝑦 tous au carré moins 𝑦 au carré tous au carré.
