Vidéo question :: Déterminer un système d’inéquations représenté par un graphique Mathématiques

Transcription de la vidéo

Posez le système d'inéquations dont la solution est représentée par le graphique suivant.

Et on nous donne un graphique avec deux droites ; Appelons-les droite une, qui est la droite en pointillés et droite deux, qui est la droite continue. Maintenant, la zone une, c’est la zone contenant les points situés dans la zone rouge ici, donc au-dessus de cette droite. Et la zone deux, c’est cette zone jaune ici, donc les points situés au-dessus de cette droite. Et puis nous avons cette zone colorée ici, qui est l’intersection des deux premières zones.

Donc, avec deux droites et deux zones correspondantes, nous devons établir deux inégalités. Et pour la première, nous avons une ligne pointillée. Donc, les points de la droite ne sont pas inclus dans la zone quand la ligne est pointillée.

Et cela veut dire qu’il s’agit d’une inégalité stricte, donc 𝑦 est strictement supérieur à quelque chose ou 𝑦 est strictement inférieur à quelque chose. Et comme nous nous intéressons aux points qui sont situés au-dessus de cette droite, en fait, dans notre cas, nous allons avoir une inégalité de type 𝑦 strictement supérieur à quelque chose.

Alors tout d’abord, déterminons l’équation de cette droite. Et pour cela, il faut déterminer la pente et l’ordonnée à l’origine. Donc, si je prends un point sur cette droite et que j’avance d’une unité selon l’abscisse 𝑥, la valeur correspondante de l’ordonnée 𝑦 sur la droite diminue de trois.

Et c’est le cas tout au long de la droite ; on avance d’une unité selon l’abscisse 𝑥, l’ordonnée 𝑦 diminue de trois ; on avance d’une unité selon l’abscisse 𝑥, l’ordonnée 𝑦 diminue de trois. Donc, la pente vaut moins trois. Maintenant, il faut déterminer l’ordonnée à l’origine. Et cela correspond à la valeur de 𝑦 où la droite coupe l’axe des 𝑦. Lorsque l’abscisse 𝑥 vaut zéro, quelle est la valeur correspondante de l’ordonnée 𝑦 ? Eh bien, dans ce cas, c’est moins huit.

Donc, l’ordonnée à l’origine vaut moins huit. Maintenant, l’équation générale d’une droite est 𝑦 égale à la pente fois 𝑥 plus la valeur de l’ordonnée à l’origine.

Et avec une pente de moins trois et une ordonnée à l’origine de moins huit, je peux mettre ces valeurs dans l’équation générale et j’obtiens 𝑦 égal à moins trois 𝑥 plus moins huit, ce qui s’écrit normalement 𝑦 est égal à moins trois 𝑥 moins huit.

Alors cette équation nous donne les ordonnées 𝑦 des points situés sur cette droite et nous nous intéressons à cette zone rouge et à tous les points qui sont en fait situés au-dessus de la droite, et non pas sur la droite. Alors, les ordonnées 𝑦 des points de cette zone ici sont toutes supérieures aux ordonnées des points sur la droite.

Donc, par exemple, lorsque 𝑥 est égal à zéro, le point sur la droite a une ordonnée 𝑦 de moins huit. Mais nous sommes dans cette zone ; nous nous intéressons à toutes ces ordonnées 𝑦 jusqu’en haut ici, qui sont supérieures à moins huit.

Nous pouvons donc représenter cette zone rouge avec cette inégalité. Toutes les ordonnées 𝑦 sont plus grandes dans la zone rouge que leurs abscisses correspondants 𝑥 fois moins trois, moins huit.

Déterminons maintenant l’inégalité pour la zone jaune. Eh bien, l’équation deux correspond à une droite continue, ce qui nous indique que les points sur la droite sont inclus dans la zone.

Nous cherchons donc une inégalité du type 𝑦 est supérieur ou égal à quelque chose ou 𝑦 est inférieur ou égal à quelque chose. Et encore une fois dans ce cas particulier, tous les points qui nous intéressent sont situés au-dessus de cette droite ; la zone jaune est située au-dessus de la droite continue, donc l’inéquation est du type 𝑦 est supérieur ou égal à quelque chose.

Alors allons-y et déterminons l’équation de cette droite continue. Encore une fois, nous devons déterminer la pente et l’ordonnée à l’origine. Et pour cette droite continue, à chaque fois que j’avance d’une unité selon l’abscisse 𝑥, l’ordonnée 𝑦 augmente de trois. Donc, la pente vaut plus trois.

Et pour l’ordonnée à l’origine, lorsque 𝑥 vaut zéro, l’ordonnée correspondante 𝑦 est trois ; c’est la valeur de 𝑦 à l’intersection de la droite avec l’axe des 𝑦. L’ordonnée à l’origine vaut donc également trois.

Et de même, nous pouvons maintenant utiliser ces informations pour écrire l’équation de cette deuxième droite. Avec une pente de trois, nous avons 𝑦 égal à trois 𝑥 et l’ordonnée à l’origine vaut également trois. L’équation représentant les points sur cette droite continue est donc 𝑦 égale trois 𝑥 plus trois.

Donc, pour cette droite, pour cette équation, si 𝑥 était égal à un, la valeur de 𝑦 sur la droite serait égale à six. Mais notre zone comprend non seulement ce point mais aussi tous les points de la zone situés au-dessus de le point dans la zone. Donc 𝑦 peut être égal à trois 𝑥 plus trois, mais il peut aussi être supérieur à cela.

𝑦 est supérieur ou égal à trois 𝑥 plus trois. Donc, les points dans la zone rouge vérifient cette inégalité ; les points dans la zone jaune vérifient cette inégalité et les points dans cette zone vérifient ces deux inégalités.

La réponse consiste donc en ces deux inégalités : 𝑦 est supérieur à trois 𝑥 plus trois et 𝑦 est supérieur à moins trois 𝑥 moins huit.