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Déterminez l’ensemble solution de l’équation trois sur 𝑥 plus trois moins quatre sur 𝑥 moins trois est égal à trois dans l’ensemble de nombres réels, en donnant des valeurs au dixième près.
La manière avec laquelle nous pourrions résoudre l’équation dans cette question pourrait ne pas apparaître immédiatement comme évidente. Une stratégie pour résoudre une équation de ce type consiste à essayer d’éliminer les dénominateurs en trouvant d’abord le plus petit dénominateur commun. Lorsque nous ajoutons un tiers et un quart, le moyen le plus simple de trouver un dénominateur commun est de multiplier les deux dénominateurs entre eux. Trois multiplié par quatre est égal à 12. Par conséquent, notre dénominateur commun est égal à 12. Bien que notre équation soit plus complexe, nous pouvons utiliser la même méthode. Nous avons les dénominateurs 𝑥 plus trois et 𝑥 moins trois. En les multipliant entre eux, nous obtenons 𝑥 plus trois multiplié par 𝑥 moins trois. En multipliant chacun des trois termes de notre équation par celui-ci, nous pourrons éliminer les dénominateurs.
La multiplication du premier terme par 𝑥 plus trois et par 𝑥 moins trois nous donne trois 𝑥 plus trois 𝑥 moins trois le tout divisé par 𝑥 plus trois. Ceci se simplifie en trois multiplié par 𝑥 moins trois. Le deuxième terme devient moins quatre multiplié par 𝑥 plus trois multiplié par 𝑥 moins trois divisé par 𝑥 moins trois. Cette fois nous pouvons simplifier le numérateur et le dénominateur par le facteur 𝑥 moins trois, obtenant ainsi moins quatre multiplié par 𝑥 plus trois. Dans le membre de droite de l’équation, nous avons trois multiplié par 𝑥 plus trois multiplié par 𝑥 moins trois.
À ce stade, nous pourrions remarquer que 𝑥 plus trois multiplié par 𝑥 moins trois est la factorisation de la différence de deux carrés. Nous savons que 𝑥 au carré moins 𝑎 au carré est égal à 𝑥 plus 𝑎 multiplié par 𝑥 moins 𝑎. Ceci signifie que 𝑥 plus trois multiplié par 𝑥 moins trois est égal à 𝑥 au carré moins neuf. Le membre de droite de notre équation devient trois multiplié par 𝑥 au carré moins neuf.
Notre prochaine étape consiste à développer les parenthèses en utilisant la distributivité. Ceci nous donne trois 𝑥 moins neuf. Dans le membre de gauche, nous avons également moins quatre 𝑥 moins 12. Et dans le membre de droite, nous avons trois 𝑥 au carré moins 27. Le membre de gauche se simplifie en moins 𝑥 moins 21. Nous pouvons alors ajouter 𝑥 et 21 aux deux membres de l’équation de façon que trois 𝑥 au carré plus 𝑥 moins six soit égal à zéro. Il s’agit d’une équation du second degré écrite sous la forme 𝑎𝑥 au carré plus 𝑏𝑥 plus 𝑐 égal zéro.
Nous savons qu’une façon de résoudre une équation de ce type, où 𝑎, 𝑏 et 𝑐 sont des constantes et 𝑎 est non nulle, est d’utiliser la formule des racines du polynôme du second degré. Ceci stipule que 𝑥 est égal à moins 𝑏 plus ou moins la racine carrée de 𝑏 au carré moins quatre 𝑎𝑐 le tout divisé par deux 𝑎. Si la valeur de 𝑏 au carré moins quatre 𝑎𝑐, que l’on appelle le discriminant, est supérieure ou égale à zéro, l’équation aura des solutions réelles. Dans notre équation, les valeurs de 𝑎, 𝑏 et 𝑐 sont respectivement trois, un et moins six. Ceci signifie que 𝑥 est égal à moins un plus ou moins la racine carrée de un au carré moins quatre multiplié par trois multiplié par moins six le tout divisé par deux multiplié par trois. Ceci se simplifie en moins un plus ou moins la racine carrée de 73 le tout divisé par six.
Nous avons deux solutions possibles soit 𝑥 est égal à moins un plus la racine carrée de 73 le tout divisé par six soit 𝑥 est égal à moins un moins la racine carrée de 73 le tout divisé par six. En les tapant dans la calculatrice, nous avons que 𝑥 est égal à 1,257… ou que 𝑥 est égal à moins 1,590… On nous a demandé de donner nos solutions au dixième près. L’ensemble solution de l’équation trois sur 𝑥 plus trois moins quatre sur 𝑥 moins trois égal trois contient les valeurs qui arrondies au dixième près sont 1.3 et moins 1.6.
