Vidéo : Représentation graphique des fonctions du second degré

Dans cette vidéo, nous apprendrons à esquisser la courbe d’une fonction du second degré donnée sous sa forme développée ou canonique, et à reconnaître l’équation d’une fonction du second degré compte tenu de sa courbe.

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Transcription de vidéo

Dans cette vidéo, nous apprendrons à représenter graphiquement les fonctions du second degré. Nous considérerons celles données sous forme développée et canonique. Les courbes de fonctions du second degré ont de nombreuses applications. Elles peuvent représenter les trajectoires d’objets en mouvement comme une balle qui rebondit ou même les motifs de vol des abeilles. En affaires, elles peuvent prévoir les revenus. Nous pourrions également faire quelque chose comme minimiser les déchets et le dimensionnement des colis. Lorsque nous travaillons avec des courbes de fonctions du second degré, nous traitons souvent avec des variables telles que la vitesse, le coût et l’aire, entre autres.

Avant de regarder des graphiques spécifiques, rappelons-nous la forme générale d’une fonction du second degré. Lorsque nous parlons de fonctions du second degré, la forme générale serait 𝑓 de 𝑥 égal à 𝑎𝑥 au carré plus 𝑏𝑥 plus 𝑐, où 𝑎, 𝑏 et 𝑐 sont des constantes et 𝑎 ne peut pas être égal à zéro. Une autre forme dans laquelle nous pourrions voir des fonctions du second degré ressemble à ceci. 𝑓 de 𝑥 est égal à 𝑎 fois 𝑥 moins ℎ au carré plus 𝑘, où 𝑎, ℎ et 𝑘 sont des constantes et 𝑎 n’est pas égal à zéro. Nous appelons cette forme la forme canonique. Cela s’appelle la forme du sommet parce que lorsque notre fonction du second degré est écrite sous cette forme, le sommet de cette courbe sera au point ℎ, 𝑘.

Si nous avons ce croquis d’une fonction du second degré, le sommet se trouverait ici. Le sommet est le maximum dans ce cas car la courbe s’ouvre vers le bas. Et lorsque la parabole s’ouvre vers le haut, le sommet est plutôt un minimum. Nous savons que lorsque 𝑎 est supérieur à zéro, c’est-à-dire lorsque 𝑎 est positif, la courbe s’ouvrira vers le haut. Et lorsque 𝑎 est inférieur à zéro, lorsque 𝑎 est une valeur négative, la courbe s’ouvrira vers le bas. Nous avons noté avec la forme du sommet à droite que lorsqu’elle est sous cette forme, le sommet se trouve au point ℎ, 𝑘. Lorsque nous considérons la forme générale, nous ne pouvons pas identifier le sommet simplement en regardant la forme générale.

Cependant, nous avons une formule pour trouver le sommet si nous avons une fonction sous forme générale. De la forme générale, nous prenons la valeur moins 𝑏 et la diviser par deux fois la valeur 𝑎. Cela nous donne la coordonnée 𝑥 du sommet. Nous prenons cette coordonnée 𝑥 et nous la replaçons dans notre fonction pour résoudre la coordonnée 𝑦 du sommet. Avant de continuer, nous devons mentionner une autre forme canonique. Certaines personnes dans les manuels peuvent utiliser la forme 𝑓 de 𝑥 est égal à 𝑎 fois 𝑥 plus 𝑝 au carré plus 𝑞, où 𝑎, 𝑝 et 𝑞 sont des constantes et 𝑎 n’est pas égal à zéro.

Cette forme fonctionne de manière très semblable à la première forme canonique que nous avons examinée, avec une distinction clé. Si vous utilisez cette formule, le sommet se trouve en moins 𝑝, 𝑞. En regardant de près ces deux fonctions, nous pouvons voir pourquoi. Dans la première forme, nous soustrayons ℎ de 𝑥. Et puis nous avons un sommet à coordonnée 𝑥 positive. Dans la deuxième forme, nous ajoutons cette constante à 𝑥, et nous devrons donc prendre la valeur négative comme coordonnée 𝑥 pour le sommet. Les deux formules sont également acceptables tant que vous les utilisez régulièrement.

Pour nous préparer à représenter graphiquement une fonction du second degré, nous considérerons quatre caractéristiques différentes qui nous aideront à représenter graphiquement ces fonctions. Tout d’abord, nous allons considérer la forme de la parabole. Deuxièmement, nous considérerons l’interception 𝑦 des fonctions du second degré. Troisièmement, nous considérerons les racines ou les zéros de la fonction, qui sont les interceptions 𝑥 de la fonction. Et enfin, nous considérerons le sommet ou le point tournant de la fonction. Pour nous aider à considérer chacune de ces caractéristiques, nous allons examiner la fonction 𝑓 de 𝑥 est égal à 𝑥 au carré moins deux 𝑥 moins huit. Pour trouver la forme de la parabole, nous voulons savoir si la valeur 𝑎 est supérieure à zéro ou inférieure à zéro ? Autrement dit, la valeur 𝑎 est-elle positive ou négative ?

Les valeurs 𝑎 positives s’ouvrent vers le haut et les valeurs 𝑎 négatives s’ouvrent vers le bas. Dans notre cas, le coefficient du terme 𝑥 au carré est un. Un est supérieur à zéro. Par conséquent, la forme de cette courbe s’ouvrira vers le haut. Ensuite, nous voulons trouver l’ordonnée à l’origine. L’interception 𝑦 sera l’endroit où 𝑥 est égal à zéro. Pour nous, c’est zéro carré moins deux fois zéro moins huit. 𝑓 de zéro est égal à moins huit, ce qui donne le zéro d’interception,, moins huit. Il convient de souligner ici que lorsque nous avons affaire à la forme générale d’une fonction du second degré, l’ordonnée à l’origine est toujours trouvée au point zéro, 𝑐. Dans notre fonction, 𝑐 est égal à moins huit, ce qui confirme une interception 𝑦 de zéro, moins huit.

Qu’en est-il des racines d’une fonction du second degré ? Les racines sont l’endroit où le 𝑓 de 𝑥 est égal à zéro. Pour trouver les racines, nous mettons notre 𝑓 de 𝑥 égal à zéro, puis nous résolvons pour 𝑥. Lorsque l’équation est donnée sous forme générale, nous pouvons résoudre en factorisant. Nous avons deux termes 𝑥. Nous avons besoin de facteurs qui, multipliés ensemble, sont égaux à moins huit et, lorsqu’ils sont additionnés, égaux à moins deux, qui seront moins quatre et deux positifs. Nous devons ensuite prendre chacun de ces facteurs et les mettre à zéro. Nous devons savoir quand 𝑥 plus deux serait égal à zéro et quand 𝑥 moins quatre serait égal à zéro. Ce serait quand 𝑥 est égal à moins deux et quand 𝑥 est égal à quatre positifs. Cela nous indique que cette courbe de fonction du second degré traversera l’axe 𝑥 au point moins deux, zéro et au point quatre, zéro.

Notre caractéristique finale, le sommet, serait donnée sous la forme ℎ, 𝑘 si notre fonction d’origine était écrite sous forme canonique. Mais puisque nous n’avons que la forme générale, nous devrons calculer moins 𝑏 sur deux 𝑎 pour la coordonnée 𝑥 puis le remplacer pour résoudre la coordonnée 𝑦 de ce sommet. Moins 𝑏 sur deux 𝑎 serait l’opposé de moins deux, donc plus deux sur deux fois un. Plus deux sur deux est égal à un. Cela signifie que la coordonnée 𝑥 de notre sommet est un. Pour trouver la coordonnée 𝑦 du sommet, on pose un pour 𝑥. Nous obtenons un carré moins deux fois un moins huit, ce qui est égal à moins neuf. Et nous pouvons dire que le sommet de cette fonction est situé à un, moins neuf. Et parce que nous connaissons la forme de cette fonction, nous pouvons dire que le sommet sera une coordonnée minimale.

Et avec ces fonctionnalités clés, nous sommes prêts à esquisser une courbe. Nous savons que notre ordonnée à l’origine est située à zéro, moins huit. Nous avons des racines en moins deux, zéro et quatre, zéro. Et notre sommet, notre coordonnée minimale, est en un, moins neuf. Vous vous souvenez peut-être aussi que ces courbes sont symétriques par rapport à l’axe de symétrie, qui est situé le long de la droite de la coordonnée 𝑥 du sommet. La réflexion sur l’axe de symétrie nous donne une meilleure idée de la manière d’esquisser la courbe. Et nous le ferons maintenant en reliant ces points. Et en suivant toutes ces fonctionnalités, nous avons représenté graphiquement une fonction du second degré. En utilisant ces quatre fonctionnalités, nous sommes prêts à considérer quelques exemples.

Écrivez l’équation du second degré représentée par la courbe suivante.

Afin d’écrire cette équation, considérons certaines caractéristiques de la courbe des fonctions du second degré, de la forme, de l’ordonnée à l’origine, des racines et du sommet. Nous avons également la forme générale 𝑓 de 𝑥 est égal à 𝑎𝑥 plus au carré plus 𝑏𝑥 plus 𝑐 ou la forme au sommet 𝑓 de 𝑥 est égal à 𝑎 fois 𝑥 moins ℎ au carré plus 𝑘. Compte tenu de la forme, on voit que cette parabole s’ouvre vers le bas. Et cela signifie que la valeur 𝑎 sera inférieure à zéro. Ce sera négatif. L’interception 𝑦 est située ici à zéro, zéro, ce qui signifie que les racines ici ne seront qu’une racine à zéro, zéro. Et il se trouve que c’est le sommet, qui est le point maximum de cette fonction.

Si nous utilisons la forme canonique, nous savons que le sommet se trouve au point ℎ, 𝑘. Et donc nous pouvons prendre ce sommet de zéro, zéro et le placer sur cette forme générale canonique. Lorsque nous simplifions cela, nous découvrons que la fonction est 𝑎 fois 𝑥 au carré. Et cela signifie que nous devons savoir ce qu’est 𝑎. Nous savons que la valeur 𝑎 est négative. Mais pour trouver ce que c’est exactement, nous devons considérer un autre point de la courbe. Nous pourrions utiliser l’un des autres points que nous connaissons sur la courbe. Par exemple, nous savons que la courbe croise le point deux, moins quatre. Donc, nous plaçons deux pour 𝑥 et moins quatre pour 𝑓 de 𝑥. Et puis nous avons moins quatre égaux à quatre 𝑎.

De là, nous divisons les deux côtés de l’équation par quatre. Et nous voyons que moins un est égal à 𝑎 ou 𝑎 est égal à moins un. Et nous replaçons cette valeur pour 𝑎, ce qui nous donne un fois moins 𝑥 au carré. Et nous pouvons simplifier cela pour donner simplement moins 𝑥 au carré. Nous avons donc trouvé l’équation du second degré représentée par la courbe dessinée comme étant 𝑓 de 𝑥 égal à moins 𝑥 au carré.

Dans notre exemple suivant, nous commençons par l’équation du second degré et nous devons trouver sa courbe.

Laquelle des courbes suivantes représente l’équation 𝑦 est égal à moins deux 𝑥 au carré plus neuf 𝑥 moins sept ?

Notre fonction 𝑓 de 𝑥 est égale à moins deux 𝑥 au carré plus neuf 𝑥 moins sept est donnée sous la forme générale 𝑎𝑥 au carré 𝑏𝑥 plus 𝑐. Mais avant de faire quoi que ce soit avec la fonction, considérons chacune de ces courbes. Lorsque nous regardons la courbe de (A), il s’ouvre vers le haut et a un sommet dans le quatrième quadrant. La courbe de (B) s’ouvre vers le bas et a un sommet dans le deuxième quadrant. (C) s’ouvre vers le bas et a un sommet dans le premier quadrant. (D) s’ouvre vers le bas et a un sommet dans le premier quadrant. Et (E) s’ouvre vers le haut et a un sommet dans le quatrième quadrant.

Une bonne stratégie pour trouver la courbe serait de prendre notre équation et de trouver son sommet. Lorsque nous avons une équation sous la forme générale, nous trouvons le sommet moins 𝑏 sur deux 𝑎. C’est la coordonnée 𝑥. Nous prenons donc moins neuf sur deux fois moins deux, ce qui est positif 2.25. Cela signifie que la coordonnée 𝑥 de notre sommet sera située à 2.25. Si nous dessinons la droite 𝑥 égale 2.25 sur les cinq de nos courbes, nous voyons le in (A) qui coupe le sommet et le (C) qui coupe le sommet. Sur cette base, (B), (D) et (E) ne sont pas les courbes que nous recherchons.

Pour trouver la coordonnée 𝑦 du sommet, nous pourrions insérer 2.25 dans notre équation. Lorsque nous résolvons cela, nous obtenons 3.125. Et le sommet de (C) est situé à 3.125. Nous remarquons également que notre valeur 𝑎 est négative. Et cela signifie que notre courbe doit s’ouvrir vers le bas. L’option (A) s’ouvre vers le haut et a un sommet au mauvais endroit. Et nous pouvons donc dire que l’option (C) est la bonne courbe ici.

Voici un autre exemple où nous utiliserons une courbe pour écrire une équation du second degré.

Écrivez l’équation du second degré représentée par la courbe illustrée.

Nous avons la forme générale d’une équation du second degré 𝑓 de 𝑥 égale 𝑎𝑥 au carré plus 𝑏𝑥 plus 𝑐 et la forme du sommet 𝑎 fois 𝑥 moins ℎ au carré plus 𝑘. Pour trouver l’équation, nous allons considérer certaines caractéristiques de la courbe. La forme de cette courbe s’ouvre vers le bas. Et cela signifie que nous savons que notre valeur 𝑎 sera inférieure à zéro. Ce sera négatif. Nous avons une interception 𝑦 au point zéro, deux. En ce qui concerne les racines, nous ne pouvons pas savoir avec beaucoup de précision quelles sont les racines. Nous allons donc les laisser là pour l’instant. Le sommet ici est un maximum. Et nous savons où il se trouve, au point un, trois.

Parce que nous connaissons le sommet, nous pouvons commencer avec notre forme canonique. Notre sommet est ℎ, 𝑘. Et donc nous plaçons un pour ℎ et trois pour 𝑘. La seule chose qui nous manque maintenant est cette variable 𝑎. Nous savons que c’est inférieur à zéro, mais nous ne savons pas exactement ce que c’est. Pour la trouver, nous pouvons placer un autre point de la courbe que nous connaissons déjà. Si nous ajoutons zéro pour 𝑥 et deux pour 𝑓 de 𝑥, nous serons en mesure de résoudre notre valeur 𝑎. Zéro moins un carré est un ; une fois 𝑎 est 𝑎, ce qui signifie que 𝑎 plus trois est égal à deux. Et deux moins trois est moins un, nous pouvons donc dire que 𝑎 est égal à moins un.

Et nous allons revenir en arrière et placer cela. Au lieu d’avoir moins un, nous pouvons simplement écrire le signe moins et dire que 𝑓 de 𝑥 est moins 𝑥 moins un carré plus trois. C’est la forme canonique de la courbe que nous avons. Si nous voulions écrire ceci sous la forme générale, nous pourrions développer ce 𝑥 moins un carré, ce qui nous donnerait l’opposé de 𝑥 au carré moins deux 𝑥 plus un plus trois. Nous distribuons le moins un. Et lorsque nous combinons des termes semblables, nous avons la forme générale de moins un 𝑥 au carré plus deux 𝑥 plus deux. Ces deux formes sont du second degré et représentées par cette courbe.

Dans notre dernier exemple, nous ne recherchons pas une forme canonique ou une forme développée d’une fonction du second degré. Au lieu de cela, nous allons explorer la forme factorisée.

Écrivez l’équation du second degré représentée par la courbe illustrée. Donnez votre réponse sous forme factorisée.

Pour ce faire, considérons certaines caractéristiques de la courbe des fonctions du second degré comme la forme, l’interception 𝑦, les racines et le sommet. La forme de cette parabole s’ouvre vers le haut. Et cela nous dit que notre valeur 𝑎 sera positive, supérieure à zéro. Nous avons une interception 𝑦 situé au point zéro, zéro. Pour trouver les racines, nous recherchons l’endroit où la courbe croise l’axe 𝑥. Ici, nous avons une racine à zéro, zéro et à cinq, zéro. Le sommet de cette courbe a été étiqueté. Il s’agit d’une coordonnée minimale située à deux et demi, moins 6.25.

Ce que nous voulons faire maintenant, c’est penser un peu plus aux racines. Les racines sont parfois appelées solutions. Ils sont l’endroit où notre fonction est égale à zéro. Nous avons des solutions lorsque 𝑥 est égal à zéro et lorsque 𝑥 est égal à cinq. Nous pouvons prendre ces solutions et les transformer en facteurs. Parce que 𝑥 est la même chose que 𝑥 moins zéro, 𝑥 est égal à zéro est un facteur. Et pour le facteur deux, nous voudrions dire que 𝑥 moins cinq est égal à zéro. Voici deux facteurs. Cependant, nous ne savons toujours pas quelle est notre valeur 𝑎 car il existe de nombreuses équations qui ont les facteurs 𝑥 et 𝑥 moins cinq. Et cela signifie que nous devrions avoir 𝑓 de 𝑥 égal à 𝑎 fois 𝑥 fois 𝑥 moins cinq.

Pour résoudre 𝑎, nous pouvons placer des coordonnées de points que nous savons tomber sur cette courbe. Nous savons que lorsque 𝑥 est égal à 2.5, 𝑓 de 𝑥 est égal à moins 6.25. Deux et demi moins cinq est moins deux et demi. Moins deux fois et demi fois deux et demi est égal à moins 6.25. Et si nous divisons les deux côtés de l’équation par moins 6.25, nous voyons que 𝑎 est égal à un. Et si 𝑎 est égal à un, alors notre forme factorisée est 𝑓 de 𝑥 égale 𝑥 fois 𝑥 moins cinq. Nous voulons toujours vérifier cette valeur 𝑎 car, comme je viens de le dessiner en haut de cette courbe, voici une équation qui a les mêmes facteurs. Cependant, dans ce cas, le 𝑎 devrait être inférieur à zéro car la courbe s’ouvre vers le bas, ce qui signifie qu’il ne suffit pas de simplement connaître les facteurs. Vous devez également vérifier la valeur 𝑎.

Avant de terminer, nous résumerons ce que nous avons appris. En utilisant les formes de fonctions du second degré, 𝑓 de 𝑥 est égal à 𝑎𝑥 au carré plus 𝑏𝑥 plus 𝑐 et 𝑓 de 𝑥 est égal à 𝑎 fois 𝑥 moins ℎ au carré plus 𝑘, nous pouvons identifier les caractéristiques de la courbe. Pour la forme générale 𝑓 de 𝑥 est égal à 𝑎𝑥 au carré plus 𝑏𝑥 plus 𝑐, lorsque 𝑎 est supérieur à zéro, la parabole s’ouvre vers le haut. Lorsque 𝑎 est inférieur à zéro, la parabole s’ouvre vers le bas. L’interception 𝑦 est située à zéro, 𝑐.

Pour trouver la coordonnée 𝑥 du sommet, vous prenez moins 𝑏 sur deux 𝑎. Pour trouver la coordonnée 𝑦 du sommet, vous trouverez la coordonnée 𝑥 puis remplacez de nouveau dans votre fonction. Et pour 𝑓 de 𝑥 est égal à 𝑎 fois 𝑥 moins ℎ au carré plus 𝑘, la forme du sommet. Lorsque 𝑎 est supérieur à zéro, la parabole s’ouvre vers le haut. Lorsque 𝑎 est inférieur à zéro, la parabole s’ouvre vers le bas. Et le sommet est situé au point ℎ, 𝑘.

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