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Déterminez l’aire de la surface délimitée par les courbes d’équations 𝑦 égale huit divisé par 𝑥 puissance quatre et les droites d’équations 𝑥 égale un, 𝑥 égale huit et 𝑦 égale zéro, en arrondissant au centième près.
La question nous demande de calculer l’aire d’une région qui est délimitée par la courbe d’équation 𝑦 égale huit divisé par 𝑥 puissance quatre et les droites d’équations 𝑥 égale un, 𝑥 égale huit et 𝑦 égale zéro. Il faut arrondir la réponse au centième près.
Rappelons que, pour calculer la région au-dessus de l’axe des 𝑥 délimitée par la courbe d’équation 𝑦 égale 𝑓 de 𝑥 et les droites d’équations 𝑥 égale 𝑎 et 𝑥 égale 𝑏, avec 𝑎 inférieur à 𝑏, on calcule l’intégrale entre 𝑎 et 𝑏 de 𝑓 de 𝑥 par rapport à 𝑥. En fait, on pourrait également s’en servir pour calculer l’aire sous l’axe des 𝑥 délimitée par la courbe d’équation 𝑦 égale 𝑓 de 𝑥 et les droites d’équations 𝑥 égale 𝑎 et 𝑥 égale 𝑏, pour 𝑎 inférieur à 𝑏. Pour ce faire, il faudrait calculer moins l’intégrale de 𝑎 à 𝑏 de 𝑓 de 𝑥 par rapport à 𝑥.
Maintenant que nous avons une méthode pour calculer l’aire au-dessus ou en dessous de l’axe des 𝑥, traçons un graphique de la région décrite par l’énoncé. Commençons par tracer les droites verticales d’équations 𝑥 égale un et 𝑥 égale 𝑎 et la droite horizontale 𝑦 égale zéro, qui correspond à l’axe des 𝑥. Ensuite, nous allons tracer le graphique de 𝑦 égale huit divisé par 𝑥 puissance quatre. Nous savons que le graphique de la fonction un divisé par 𝑥 puissance quatre est celui d’une fonction inverse. Or, 𝑥 est élevé à une puissance paire. Donc, il se situe entièrement au-dessus de l’axe des 𝑥. Ensuite, une multiplication par 𝑎 donne un étirement vertical de facteur huit. Il reste toujours au-dessus de l’axe des 𝑥.
Voilà donc un dessin de la région, que nous appellerons 𝑅. Comme la courbe d’équation 𝑦 égale huit divisé par 𝑥 puissance quatre se situe au-dessus de l’axe des 𝑥, alors cette région est au-dessus de l’axe des 𝑥. Notez bien que cette formule de calcul de l’aire ne fonctionne plus si nous essayons d’intégrer dans une région où la courbe est discontinue. Mais la courbe de 𝑦 égale huit divisé par 𝑥 puissance quatre est une fonction rationnelle. Les seules fois où elle peut être discontinue sont lorsque son dénominateur est égal à zéro. Et dans le cas présent, elle est discontinue lorsque 𝑥 est égal à zéro. Cependant, les bornes de l’intégrale sont ici 𝑥 égale un et 𝑥 égale huit. La courbe est donc continue dans cette région.
Nous sommes maintenant prêts à calculer l’aire de la région. Cette aire est égale à l’intégrale entre un et huit de huit divisé par 𝑥 puissance quatre par rapport à 𝑥. Nous pouvons réécrire huit divisé par 𝑥 puissance quatre comme huit multiplié par 𝑥 puissance moins quatre. Nous pouvons maintenant calculer cette intégrale en rappelant que, soient 𝑎 et 𝑛 des constantes, avec 𝑛 différent de moins un, pour intégrer 𝑎 multiplié par 𝑥 puissance 𝑛 par rapport à 𝑥, il faut ajouter un à l’exposant et diviser par ce nouvel exposant. Puis ajouter la constante d’intégration, 𝑐.
Ajouter un à l’exposant donne moins trois. Ensuite, divisons 𝑎𝑥 puissance moins trois par moins trois. Et puisque nous calculons une intégrale définie, il n’y a pas besoin d’ajouter une constante d’intégration. En calculant cela aux bornes 𝑥 égale un et 𝑥 égale huit, nous obtenons huit multiplié par huit puissance moins trois sur moins trois moins huit multiplié par un puissance moins trois sur moins trois. Ce qui, au centième près, vaut 2,66.
Ainsi, nous avons montré que la région délimitée par la courbe d’équation 𝑦 égale huit divisé par 𝑥 puissance quatre et les droites d’équations 𝑥 égale un, 𝑥 égale huit et 𝑦 égale zéro, arrondie au centième, vaut 2,66.
