Vidéo question :: Déterminer le point qui maximise la fonction objectif connaissant le graphe des contraintes Mathématiques

Transcription de la vidéo

En utilisant la programmation linéaire, déterminez le minimum et le maximum de la fonction définie par 𝑝 égale quatre 𝑥 moins trois 𝑦 pour 𝑥 supérieur ou égal à zéro, 𝑦 supérieur ou égal à zéro, 𝑥 plus 𝑦 inférieur ou égal à neuf et 𝑦 supérieur ou égal à cinq.

Nous avons quatre inégalités linéaires en 𝑥 et 𝑦, et ce sont nos contraintes. En plus de l’énoncé, on nous donne également un graphe où le domaine admissible a été coloré ; C’est l’ensemble de toutes les solutions possibles. Cette région colorée représente l’endroit où les contraintes sont vérifiées. Il s’agit de l’ensemble des solutions possibles qui correspond au domaine de la fonction objectif que nous devons maximiser ou minimiser, ou dans cette question les deux.

Dans notre problème, l’ensemble admissible est un triangle. En général, l’ensemble admissible est un polygone quand il s’agit d’un problème d’optimisation linéaire. Et dans la question on nous demande de déterminer les extremums de la fonction objectif 𝑝 égale quatre 𝑥 moins trois 𝑦 sur cet ensemble admissible ; c’est-à-dire lorsque 𝑥 et 𝑦 sont les coordonnées d’un point de l’ensemble admissible. Et on pourrait penser que cela va être difficile parce qu’il va falloir vérifier la valeur de cette fonction pour chaque point de ce triangle, mais en fait, il faudra seulement vérifier les valeurs aux sommets.

Les valeurs maximale et minimale d’une fonction objectif linéaire, comme celle que nous avons, sont toujours atteintes aux sommets de l’ensemble admissible. Il suffit donc de calculer cette fonction aux trois sommets. Alors, quelle est la valeur de la fonction au sommet zéro, neuf ? La fonction objectif 𝑝 vaut quatre 𝑥 moins trois 𝑦. La valeur de 𝑥 est zéro et la valeur de 𝑦 est neuf. Nous obtenons donc quatre fois zéro moins trois fois neuf, soit moins 27.

C’est la même procédure pour le sommet zéro, cinq. La fonction objectif vaut quatre 𝑥 moins trois 𝑦. Et en remplaçant par les valeurs de 𝑥 et 𝑦, nous obtenons que la valeur de la fonction objectif en ce point est moins 15. Et finalement, nous avons le sommet quatre, cinq pour lequel la fonction objectif vaut quatre fois quatre moins trois fois cinq, ce qui est un.

Les valeurs de la fonction objectif aux sommets sont moins 27, moins 15 et un. Parmi ces trois valeurs, la valeur minimale est moins 27 et la valeur maximale est un. Et ce ne sont pas seulement les valeurs minimale et maximale sur les sommets de l’ensemble admissible ; ce sont les valeurs minimale et maximale sur tout l’ensemble admissible, y compris l’intérieur et les bords.

Et donc les valeurs minimale et maximale de la fonction 𝑝 égale à quatre 𝑥 moins trois 𝑦 sachant que 𝑥 est supérieur ou égal à zéro, 𝑦 est supérieur ou égal à zéro, 𝑥 plus 𝑦 est inférieur ou égal à neuf et 𝑦 est supérieur ou égal à cinq sont moins 27 et un.