Transcription de la vidéo
Un cylindre à couvercle mobile contient de l’air d’un volume de 0,042 mètre cube à une pression de 101 kilopascals. Le couvercle du cylindre est poussé vers le bas par une force externe 𝐅, comme indiqué sur la figure. La force comprend le poids du couvercle. En conséquence, le couvercle se déplace vers le bas de 10 centimètres et la pression atmosphérique augmente de 28 kilopascals. Le couvercle cesse alors de bouger lorsque la pression au-dessus et en dessous de celle-ci s’égalise. La pression change linéairement lorsque le couvercle est déplacé et la température de l’air ne change pas pendant la compression. Quel a été le travail effectué pour comprimer le gaz ? Donnez votre réponse au joule près.
Cette question nous demande de trouver le travail effectué sur le couvercle de ce cylindre d’air. Il y a beaucoup de choses dans cette question. Commençons par décomposer toutes les informations qui nous ont été données. Et puis nous pouvons déterminer quelle méthode nous allons utiliser pour trouver la réponse.
Pour commencer, nous avons un cylindre contenant de l’air d’un volume de 0,042 mètres cubes à une pression de 101 kilopascals. Il s’agit de la configuration initiale avant que le couvercle du cylindre ne se déplace. Nous allons donc étiqueter ces quantités 𝑉 un et 𝑃 un. On nous dit aussi qu’il y a 101 kilopascals de pression atmosphérique, que nous appellerons 𝑃 indice a. Au départ, la pression du gaz dans la bouteille est égale à la pression atmosphérique, ce qui signifie que le couvercle ne bouge pas.
Rappelez-vous la formule pour la pression. La pression est égale à la force divisée par la surface sur laquelle la force est exercée. Donc, pression égale signifie qu’il y a une force égale de l’air à l’extérieur du cylindre, de la pression atmosphérique et de l’air à l’intérieur du cylindre. Ce sont des forces équilibrées, et donc le couvercle ne bouge pas. Ensuite, une force externe 𝐅 est appliquée sur le couvercle du cylindre, le faisant se déplacer de 10 centimètres vers le bas car les forces ne sont plus équilibrées. Il y a une force supplémentaire vers le bas. Nous pouvons voir que cela provoque une diminution du volume d’air dans le cylindre. Nous appellerons ce nouveau volume 𝑉 deux. Lorsque le couvercle descend, la pression de l’air augmente de 28 kilopascals. Ainsi, la nouvelle pression dans le cylindre 𝑃 deux est égale à la pression initiale de 101 kilopascals plus 28 kilopascals. Cela équivaut à 129 kilopascals.
Nous savons également que le couvercle cesse de bouger car la pression au-dessus et en dessous sont égales. En d’autres termes, le couvercle cesse de bouger lorsque 𝑃 deux devient égal à la somme de la pression atmosphérique et de la pression due à la force 𝐅, que nous appellerons 𝑃 indice F. Nous savons que cette force augmente la pression du gaz de 28 kilopascals. Cela signifie que la force elle-même doit appliquer une pression de 28 kilopascals à travers le couvercle du cylindre.
Maintenant que nous avons compris la configuration, réfléchissons à la question qui nous a été posée. Nous devons trouver le travail effectué par cette force 𝐅 quand elle déplace le couvercle vers le bas. La force 𝐅 et la pression qu’elle applique sont liées par la formule 𝑃 indice F est égale à 𝐅 divisé par 𝐴, 𝐴 étant l’aire du couvercle. Puisque c’est la force qui nous intéresse vraiment, réorganisons cela en fonction de 𝐅. Pour ce faire, il suffit de multiplier les deux côtés de l’équation par l’aire 𝐴. Cela nous donne 𝐅 est égal à 𝑃 indice F fois 𝐴.
Nous devons trouver le travail effectué par la force. Rappelons que le travail effectué 𝑊 est égal à la force multipliée par la distance sur laquelle il agit 𝑑. Dans ce cas, la force agit pour déplacer le couvercle vers le bas. Donc 𝑑 est égal à la distance sur laquelle le couvercle se déplace, 10 centimètres. Si nous utilisons notre expression pour la force 𝐅 dans l’équation du travail effectué, nous constatons que le travail effectué est égal à la pression 𝑃 indice F fois l’aire du couvercle multipliée par la distance parcourue par le couvercle. Nous connaissons les valeurs de la pression 𝑃 indice F et de la distance 𝑑, nous devons donc trouver l’aire 𝐴.
Pour trouver la valeur de 𝐴, il suffit d’utiliser la géométrie. Rappelons que le volume d’un cylindre est égal à l’aire de sa face circulaire multipliée par sa hauteur. Si nous réorganisons cette équation en fonction de 𝐴, nous constatons que 𝐴 est égal au volume du cylindre divisé par la hauteur. On ne nous dit pas la hauteur de la bouteille de gaz initiale ni sa hauteur après le déplacement du couvercle. Cependant, nous connaissons ici la hauteur de ce cylindre imaginaire, de 10 centimètres. Nous savons également que le volume de ce cylindre, que nous appellerons Δ𝑉, est égal à la différence entre le volume initial du cylindre et son volume final. Donc Δ𝑉 est égal à 𝑉 un moins 𝑉 deux. Ainsi, l’aire du couvercle du cylindre doit être égale à 𝑉 un moins 𝑉 deux, le tout divisé par la distance 𝑑.
Maintenant, revenons à l’équation du travail effectué par la force. Si nous utilisons notre expression pour 𝐴, nous constatons que le travail effectué est égal à la pression 𝑃 indice F fois la variation de volume divisée par 𝑑 multipliée par 𝑑. Nous pouvons voir que ces facteurs 𝑑 s’annulent, ce qui simplifie l’expression en 𝑊 est égal à la pression 𝑃 indice F fois 𝑉 un moins 𝑉 deux.
Maintenant, tout ce qui reste à faire c’est de calculer la valeur de 𝑉 deux. Rappelons que pour un gaz de masse constante, on peut utiliser la formule 𝑃 un 𝑉 un divisé par 𝑇 un est égal à 𝑃 deux 𝑉 deux divisé par 𝑇 deux, avec les quantités marquées un qui désignent l’état initial du gaz et les quantités marquées deux qui désignent l’état final du gaz. On nous dit que lorsque le gaz est comprimé, sa température ne change pas. Cela signifie que 𝑇 un est égal à 𝑇 deux, et nous pouvons les annuler de nos équations. Cela nous laisse avec 𝑃 un fois 𝑉 un est égal à 𝑃 deux fois 𝑉 deux. Nous pouvons réorganiser cela en fonction de 𝑉 deux en divisant les deux côtés de l’équation par 𝑃 deux. De là, nous trouvons que 𝑉 deux est égal à 𝑃 un fois 𝑉 un divisé par 𝑃 deux.
Maintenant, il nous suffit de remplacer les valeurs que nous avons trouvées au début. 𝑃 un est égal à 101 kilopascals, 𝑉 un est égal à 0,042 mètres cubes, et 𝑃 deux est égal à 129 kilopascals. Si nous effectuons le calcul, nous constatons que 𝑉 deux est égal à 0,03288 mètres cube.
Enfin, nous sommes prêts à calculer la valeur du travail effectué par la force. 𝑊 est égale à la pression 𝑃 indice F multipliée par 𝑉 un moins 𝑉 deux. Pour convertir la pression des kilopascals en unités SI, il suffit de multiplier par 1000, ce qui nous donne 𝑃 indice F égal à 28000 pascals. Nous savons également que 𝑉 un est de 0,042 mètres cube et 𝑉 deux est de 0,03288 mètres cubes. En substituant ces valeurs, nous constatons que le travail effectué est égal à 28000 pascals fois 0,042 mètres cubes moins 0,03288 mètres cubes. Cela nous donne une réponse de 255,36 joules.
Cela signifie qu’au joule près, 255 joules de travail sont effectuées par la force extérieure pour comprimer le gaz. Voici notre réponse finale à cette question.
