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Vidéo de question : Factoriser la somme de deux carrés Mathématiques

Factorisez 𝑥² + 9 à l’aide des nombres complexes.

01:39

Transcription de vidéo

Factorisez 𝑥 au carré plus neuf à l’aide des nombres complexes.

Pour répondre à cette question, nous devons rappeler la règle que nous utilisons lorsque nous essayons de factoriser la somme de deux carrés. Nous pouvons le faire en utilisant des nombres complexes tels que 𝑎 au carré plus 𝑏 au carré est égal à 𝑎 plus 𝑏𝑖 multiplié par 𝑎 moins 𝑏𝑖. Nous pouvons prouver cette égalité en développant les parenthèses ou à l’aide de la double distributivité.

En multipliant les premiers termes entre parenthèses, on obtient 𝑎 au carré. La multiplication des termes extérieurs nous donne moins 𝑎𝑏𝑖. En multipliant les termes intérieurs, nous avons plus 𝑎𝑏𝑖. Enfin, en multipliant les derniers termes, nous avons moins 𝑏 au carré 𝑖 au carré. Nous savons que pour les nombres complexes, 𝑖 au carré est égal à moins un. Comme les termes s’annulent, il nous reste 𝑎 au carré moins 𝑏 au carré multiplié par moins un. Cela s’écrit plus simplement 𝑎 carré plus 𝑏 carré.

En revenant à notre question, nous voyons que notre valeur 𝑎 vaut 𝑥 et notre valeur 𝑏 vaut trois car trois au carré est égal à neuf. 𝑥 au carré plus neuf peut donc être factorisé à l’aide des nombres complexes par 𝑥 plus trois 𝑖 facteur de 𝑥 moins trois 𝑖.

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