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Laquelle des courbes suivantes est d’équation 𝑦 égale cos de 𝑥 moins 90?
Commençons par tracer la courbe de 𝑦 égale cos de 𝑥. Les valeurs maximale et minimale de cos de 𝑥 sont un et moins un. Donc, ce sont les valeurs maximales et minimales sur l’axe 𝑦. Les points clés du graphique sont les multiples de 90 degrés sur l’axe horizontal. Ce sont donc 90, 180, 270, 360, et ainsi de suite, ainsi que moins 90, moins 180, et ainsi de suite. La courbe commence à un sur l’axe des 𝑦 car cos de zéro est égal à un.
Le graphique est donc en forme de vague, égal à zéro pour 90 degrés, moins un pour 180 degrés, remontant à zéro pour 270 degrés et remontant jusqu’à un pour 360 degrés. Le graphique est périodique, de période 360 degrés. Donc, cette même forme se répète à droite de 360 degrés et à gauche de zéro.
Mais ce n’est pas la courbe de 𝑦 égale cos de 𝑥 qui est demandée. On nous demande la courbe de 𝑦 égale cos de 𝑥 moins 90. Il s’agit donc de déterminer quel type de transformation a eu lieu. Rappelons que, de manière générale, étant donnée une fonction 𝑓 de 𝑥, la fonction 𝑓 de 𝑥 moins 𝑎 est une translation du graphique de 𝑓 de 𝑥 de 𝑎 unités vers la droite. C’est un décalage horizontal du graphique.
Donc, 𝑦 égale cos de 𝑥 moins 90 est une translation de la courbe 𝑦 égale cos 𝑥 de 90 degrés vers la droite. Chaque point se déplace de 90 degrés vers la droite. Donc, le point zéro, un devient le point 90, un. Le point 90, zéro devient le point 180, zéro, et ainsi de suite. Traçons en rose le graphique translaté.
Examinons maintenant les quatre graphiques proposés pour l’équation 𝑦 égale cos de 𝑥 moins 90. On voit que le deuxième graphique ici a la bonne forme et les bonnes caractéristiques, les mêmes que le graphique qu’on a tracé pour 𝑦 égale cos de 𝑥 moins 90. C’est donc le graphique recherché.
On peut également déterminer les équations des autres graphiques proposés. Le premier graphique n’est en fait que le graphique non translaté de 𝑦 égale cos de 𝑥. Dans le quatrième graphique, chaque point s’est déplacé d’une unité vers le haut. Il s’agit donc de la translation verticale d’une unité vers le haut de la courbe de 𝑦 égale cos 𝑥. L’équation de ce graphique est donc 𝑦 égale un plus cos de 𝑥.
Le troisième graphique est un peu moins facile. Mais, en regardant le point 90, zéro, qui serait le point 270, zéro sur le graphique de cosinus, on voit que ce graphique est une compression horizontale de facteur un tiers. Et donc, l’équation associée à ce graphique est 𝑦 égale cos de trois 𝑥.
Vous avez peut-être remarqué que la courbe choisie pour 𝑦 égale cos de 𝑥 moins 90 est en fait identique à la courbe de 𝑦 égale sin de 𝑥. Ce qui est vrai, car les graphiques de sinus et cosinus sont une simple translation l’un de l’autre. Pour obtenir la courbe de 𝑦 égale sin 𝑥, on translate la courbe de 𝑦 égale cos 𝑥 de 90 degrés vers la droite. On a donc trouvé que la courbe qui représente 𝑦 égale cos de 𝑥 moins 90 est la deuxième courbe.
