Transcription de la vidéo
Déterminez l’intégrale par rapport à 𝑥 de sept 𝑥 au carré moins trois, le tout divisé par six 𝑥.
Dans cette question, on nous demande d’évaluer l’intégrale d’une fonction rationnelle. Il serait très difficile d’intégrer cette fonction sous sa forme actuelle. Ainsi, on va essayer de simplifier son expression. Pour cela, on prend chaque terme du numérateur et on le divise individuellement par le dénominateur. Cela nous donne l’intégrale par rapport à 𝑥 de sept 𝑥 au carré sur six 𝑥 moins trois sur six 𝑥. On peut maintenant simplifier notre fonction. Dans le premier terme, on peut annuler le facteur commun 𝑥 au numérateur et au dénominateur. Dans le second terme, on peut annuler le facteur commun de trois au numérateur et au dénominateur. On obtient l’intégrale par rapport à 𝑥 de sept sur six fois 𝑥 moins un sur deux 𝑥.
On peut maintenant intégrer ces deux termes séparément. Commençons par le premier terme. On remarque qu’il s’agit d’une fonction polynomiale. On peut intégrer une fonction polynomiale en utilisant la règle pour intégrer les puissances, selon laquelle, pour toutes constantes réelles 𝑎 et 𝑛 où 𝑛 est différent de moins un, l’intégrale par rapport à 𝑥 de 𝑎𝑥 puissance 𝑛 est 𝑎 fois 𝑥 puissance 𝑛 plus un, le tout divisé par 𝑛 plus un, plus une constante d’intégration 𝐶. Autrement dit, on ajoute un à notre puissance de 𝑥, puis on divise par cette nouvelle puissance. Dans notre cas, on peut écrire que la puissance de 𝑥 est un. Ainsi, on ajoute un à cette puissance de 𝑥 pour obtenir une nouvelle puissance de deux et on divise par cette nouvelle puissance égale à deux. Cela nous donne sept sur six multiplié par 𝑥 au carré sur deux.
On peut maintenant passer à l’intégration du second terme. Cela sera sûrement plus facile si on le réécrit sous la forme moins un demi multiplié par un sur 𝑥. On remarque alors qu’il s’agit simplement d’intégrer la fonction inverse multipliée par une constante. On rappelle que pour toute constante réelle 𝑎, l’intégrale par rapport à 𝑥 de 𝑎 sur 𝑥 est égale à 𝑎 fois le logarithme népérien de la valeur absolue de 𝑥, plus une constante d’intégration 𝐶. Dans notre cas, la constante 𝑎 est égale à moins un demi. Ainsi, l’intégrale de ce terme est égale à moins un demi fois le logarithme népérien de la valeur absolue de 𝑥. N’oublions pas qu’on doit ajouter notre constante d’intégration 𝐶. On peut simplifier le premier terme de cette somme et ainsi obtenir notre réponse finale. Sept sur six fois 𝑥 au carré sur deux est égal à sept 𝑥 au carré sur 12.
Par conséquent, on a montré que l’intégrale par rapport à 𝑥 de sept 𝑥 au carré moins trois, le tout divisé par six 𝑥, est égal à sept 𝑥 au carré sur 12 moins un demi fois le logarithme népérien de la valeur absolue de 𝑥, plus la constante d’intégration 𝐶.
