Vidéo : Trouver la réciproque d’une fonction

Apprenez à trouver l’inverse d’une fonction. Nous expliquons ce que représente la fonction inverse et examinons des exemples pour lesquels l’ensemble de définition et l’ensemble image incluent tous les deux des valeurs réelles, ainsi que certains qui ont des ensembles de définition et des ensembles images restreints.

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Transcription de vidéo

Dans cette vidéo, nous allons examiner certaines fonctions et leurs courbes. Et nous allons parler du concept de fonction et sa réciproque. Et nous verrons également les étapes algébriques pour trouver la réciproque d’une fonction et essayer cette technique sur quelques questions typiques.

Tout d’abord, regardons la fonction 𝑓 de 𝑥 est égale à un demi 𝑥 plus trois. Et pour travailler avec cette fonction, nous entrons tout d’abord une valeur 𝑥. Ensuite, la fonction nous indique de diviser par deux ce nombre et d’ajouter trois au résultat. Et éclate la réponse. Et si nous devions tracer la courbe de 𝑦 égal à 𝑓 de 𝑥, cela ressemblerait à ceci. Où la droite représente l’association de toutes les valeurs d’entrée possibles sur leurs valeurs de sortie correspondantes. Et nous pouvons également utiliser ce graphique pour calculer les valeurs 𝑦 à partir d’une valeur 𝑥 donnée. Donc, si on nous a donné une valeur d’entrée, disons quatre, nous pourrions tracer jusqu’à la droite, puis à travers l’axe des 𝑦 ou pour obtenir la coordonnée 𝑦 correspondante de sortie — ou valeur de sortie de la fonction. Donc, si on nous donne une valeur 𝑥, nous pouvons utiliser la fonction pour trouver la valeur 𝑦 correspondante, soit sur le graphique, soit en utilisant l’équation 𝑦 égale un demi 𝑥 plus trois.

Maintenant, il est important de se rappeler que dans cette fonction particulière, toute valeur, toute valeur réelle de 𝑥 est valide pour l’entrée. L’ensemble de définition ou l’ensemble de nombres que vous pouvez saisir dans cette fonction sont tous les nombres réels. Et parce que cette droite part infiniment dans cette direction et dans cette direction. L’ensemble image ou l’ensemble des sorties possibles est également l’ensemble complet des nombres réels sur l’axe des 𝑦. Maintenant, nous reviendrons sur ces deux choses, l’ensemble image et l’ensemble de définition, plus loin dans cette vidéo.

Pour en revenir à la fonction que nous regardions, si on nous a donné une valeur 𝑦 et nous voulions trouver le 𝑥 correspondant — ou valeur d’entrée ? Eh bien, nous pourrions lire à l’envers sur le graphique. Nous pouvons donc regarder notre valeur sur l’axe des 𝑦. Nous pouvons traverser à la droite, puis vers le bas et simplement lire le correspondant coordonnée 𝑥. Mais ce serait bien d’avoir une belle équation que nous pourrions utiliser sans avoir à dessiner la courbe. Bien sûr, nous pouvons utiliser nos compétences en algèbre pour réorganiser l’équation originale et faire de 𝑥 le sujet. Donc, si 𝑦 est égal à un demi 𝑥 plus trois, je pourrais soustraire trois des deux côtés pour obtenir 𝑦 moins trois égale un demi 𝑥 plus trois moins trois. Eh bien, ces deux choses s’annulent. Donc, c’est 𝑦 moins trois est égal à un demi 𝑥. Ensuite, je peux multiplier les deux côtés par deux pour me donner deux 𝑦 moins six est égal à 𝑥 ou 𝑥 est égal à deux 𝑦 moins six.

Et nous pouvons simplement substituer des valeurs à 𝑦. Faites le calcul. Et trouvez la valeur correspondante de 𝑥. Ce processus et ces idées sont donc le fondement de base des fonctions réciproques. Maintenant, nous avons vu comment la courbe a associé toutes les valeurs d’entrée de l’ensemble de définition dans les valeurs de sortie correspondantes dans l’ensemble image. Eh bien, la fonction réciproque associe toutes les valeurs de l’ensemble image d’origine vers les valeurs de l’ensemble de définition d’origine. Maintenant, si nous pouvions inverser les axes 𝑥 et 𝑦, nous pourrions définir une nouvelle fonction qui associe quel était l’ensemble image sur ce qui était l’ensemble de définition. C’est ainsi que nous trouvons la fonction réciproque. C’est un peu la réciproque de la fonction d’origine.

Voici donc la courbe de la fonction d’origine. Ajoutons maintenant la droite 𝑦 égale 𝑥. Ensuite, nous pouvons tout refléter sur la droite 𝑦 égale 𝑥. Ce qui permute efficacement sur les axes et nous donne une nouvelle fonction 𝑦 égale la réciproque de la fonction d’origine. Ainsi, la fonction et sa réciproque sont des images miroir l’une de l’autre par rapport à la droite 𝑦 égale 𝑥. Remarquez donc comment deux vers sur quatre avec la fonction d’origine et quatre va sur deux avec la fonction réciproque. C’est à cela que servent les fonctions réciproques.

Et revenons brièvement à l’ensemble de définition et à l’ensemble image. Quel était l’ensemble de définition de la fonction d’origine a maintenant été échangé sur l’axe des 𝑦 pour la fonction réciproque. Ainsi, l’ensemble de définition de la fonction d’origine devient l’ensemble image de la fonction réciproque. Et quel était l’ensemble image de la fonction d’origine devient l’ensemble de définition de la fonction réciproque. Bon, passons en revue quelques exemples et parlons-en. Donc, tout d’abord, terminons cet exemple que nous avons examiné.

Trouvez la fonction réciproque pour 𝑓 de 𝑥 est égale à un demi 𝑥 plus trois.

Maintenant, probablement, la façon la plus simple d’aborder ces questions est d’échanger 𝑥 et 𝑦 dans l’équation. Et puis réorganiser pour faire du nouveau 𝑦 le sujet. Donc, en échangeant sur les 𝑥 et les 𝑦, nous avons maintenant 𝑥 est égal à un demi 𝑦 plus trois. Et tout comme nous l’avons fait auparavant, nous pouvons maintenant décocher cela. Donc, en soustrayant trois des deux côtés, nous avons 𝑥 moins trois est égal à un demi 𝑦. Et puis en doublant les deux côtés, nous avons deux 𝑥 moins six est égal à 𝑦. Et cela nous donne notre fonction réciproque. Il s’agit de la fonction qui associe toutes les anciennes sorties sur leurs entrées d’origine. C’est l’équation de cette droite ici, notre droite de fonction réciproque.

Maintenant, trouvez la fonction réciproque étant donné que 𝑓 de 𝑥 est égale à trois 𝑥 moins deux.

Donc, écrivez 𝑦 est égal à trois 𝑥 moins deux, permutez 𝑥 et 𝑦 dans l’équation, puis réorganisez pour faire de 𝑦 le sujet. Et cela nous donne notre fonction réciproque.

Donc, les deux exemples que nous avons examinés jusqu’à présent avaient des ensembles de définition et des ensembles images qui comprenaient tous les nombres réels. Ce sont donc des questions relativement faciles à poser. Mais lorsque vous voyez des questions légèrement plus compliquées, vous devez parfois réfléchir soigneusement à l’ensemble de définition et à l’ensemble image.

Trouvez la fonction réciproque étant donné que 𝑓 de 𝑥 est égale à trois plus la racine cubique de 𝑥.

Une fois que vous commencez à voir des choses comme la racine cubique et la racine carrée, alors vous devez faire attention. Mais, en fait, avec la racine cubique, encore une fois, un ensemble de définition et un ensemble image contiennent tous les nombres réels. Nous n’avons donc pas à nous inquiéter. Donc, nous écrivons notre équation, 𝑦 égale trois plus la racine cubique de 𝑥, remplacez les variables 𝑥 et 𝑦, puis réorganiser pour faire de 𝑦 le sujet. Et, encore une fois, qui nous donne notre fonction réciproque, la fonction qui envoie les valeurs 𝑦 retourne sur leur valeurs 𝑥 d’origine.

Maintenant, nous devons déterminer la réciproque de la fonction 𝑓 de 𝑥 est égale à la racine carrée de 𝑥 plus trois.

Eh bien, il y a quelques choses auxquelles nous devons penser ici. La fonction de racine carrée est définie comme étant uniquement les racines carrées positives. Et étant donné que nous ne pouvons pas trouver la racine carrée des nombres négatifs, il n’y a pas de solutions réelles. Les valeurs 𝑥 doivent ici être supérieures ou égales à zéro. L’ensemble de définition de cette fonction doit donc être 𝑥 est supérieur ou égal à zéro. Maintenant, si 𝑓 de 𝑥 était juste égal à la racine carrée de 𝑥, la courbe ressemblerait à quelque chose comme ça. Mais nous ajoutons trois à toutes ces valeurs. Donc, cela déplace la courbe vers le haut pour ressembler à quelque chose comme ça. Notre ensemble de définition était donc que 𝑥 devait être supérieur ou égal à zéro. Mais cela implique implicitement que les valeurs 𝑦 vont finir par être supérieures ou égales à trois. Nous devrons donc simplement garder cela à l’esprit lorsque nous réfléchirons à notre réponse.

Donc, encore une fois, nous allons commencer en écrivant simplement l’équation de la fonction. Donc 𝑦 est égal à la racine carrée de 𝑥 plus trois. Ensuite, nous allons échanger les variables 𝑥 et 𝑦. Et puis nous allons réorganiser pour faire 𝑦 le sujet. Nous pouvons donc soustraire trois des deux côtés, puis quadriller les deux côtés. Cela nous donne donc notre fonction réciproque de 𝑦 égale à 𝑥 moins trois le tout au carré. Ou 𝑓 moins un de 𝑥 est égal à 𝑥 moins trois le tout au carré. Mais, rappelez-vous, ce processus de réorganisation et d’échange des variables 𝑥 et 𝑦 consistait en fait à refléter par rapport à la droite 𝑦 égal 𝑥. Voici donc la courbe que nous recherchions. Mais 𝑦 est égal à 𝑥 moins trois, tous les carrés continuent en fait ici, comme ça. Nous ne voulons donc pas vraiment ce morceau.

Mais rappelez-vous, l’ensemble image de la fonction d’origine correspond à l’ensemble de définition de la fonction réciproque. Donc, si nous fixons notre nouvel ensemble de définition à 𝑥 est supérieur ou égal à trois, alors nous ne regardons que le morceau de cette courbe qui nous intéresse. Maintenant, rappelez-vous, nous avons échangé 𝑥 et 𝑦 quand nous faisions le calcul. Nous échangeons donc 𝑥 et 𝑦 dans l’ensemble de définition et l’ensemble image également. Ce sera notre réponse. La fonction réciproque de 𝑥 est 𝑥 moins trois le tout au carré. Et cela ne fonctionne que pour 𝑥 est supérieur ou égal à trois.

Bon alors, un dernier exemple.

Déterminez la réciproque de la fonction 𝑓 de 𝑥 est égale à 𝑥 moins deux le tout au carré moins trois où 𝑥 est supérieur ou égal à deux.

Maintenant, avant de tenter cette question, essayons d’esquisser la courbe avec laquelle nous commençons. Donc on va commencer avec ça ressemble à une sorte de variation en 𝑥 au carré. Donc, si nous commençons par la fonction 𝑥 au carré, alors ce bout entre ces parenthèses est une translation de 𝑦 égal à 𝑥 au carré par plus deux dans la direction 𝑥. Et puis nous enlevons trois de tous ces résultats, les coordonnées 𝑦. C’est donc une translation de moins trois dans la direction 𝑦. Donc, en faisant celui-ci en premier, nous avons 𝑦 est égal à 𝑥 moins deux le tout au carré ressemblerait à cela 𝑦 est égal à 𝑥 au carré décalé de deux à droite. Et puis, le réduire de trois va ressembler à quelque chose, oups, quelque chose comme ça. Donc, ce point minimum descendrait à moins trois. Mais il aurait toujours une coordonnée 𝑥 de deux.

Mais la question disait que l’ensemble de définition était quatre 𝑥 supérieur ou égal à deux. Voilà donc cette partie de la courbe qui monte ici. Nous pouvons donc effacer tout le reste. Donc, la fonction résultante va ressembler à ça. Réfléchissons maintenant à notre ensemble de définition et à notre ensemble image. Eh bien, la question nous a dit que les valeurs 𝑥 que nous pouvions utiliser pour les entrées étaient supérieures ou égales à deux, donc notre ensemble de définition est supérieur ou égal à deux. Et cela ne fait que générer des réponses supérieures ou égales à moins trois. Ainsi, l’ensemble image ne peut contenir que des réponses de 𝑦 est supérieur ou égal à moins trois. Maintenant, après y avoir réfléchi, nous pouvons continuer et essayer de résoudre la question.

Nous commençons par écrire 𝑦 est égal à 𝑥 moins deux au carré moins trois. Ensuite, nous échangeons sur la variable 𝑥 et 𝑦 et réorganisons pour faire 𝑦 le sujet. Donc, d’abord, nous pouvons ajouter trois des deux côtés. Ensuite, nous pouvons prendre les racines carrées des deux côtés. Et puis, enfin, ajoutez deux des deux côtés. Et après avoir échangé sur nos variables 𝑥 et 𝑦, nous devons maintenant échanger sur l’ensemble de définition et l’ensemble image. Alors maintenant, l’ensemble de définition n’est pas 𝑥 est supérieur ou égal à deux. Mais il est supérieur ou égal à moins trois. Quelle a été l’ensemble image des valeurs 𝑦 sur la fonction d’entrée.

Maintenant, si nous pensons à la réflexion en 𝑦 égal à 𝑥, alors pour notre fonction réciproque, les valeurs 𝑥 que nous pouvons saisir sont évidemment supérieures ou égales à moins trois. Et si on nous demandait l’ensemble image, les valeurs de sortie que nous pourrions obtenir seraient supérieures ou égales à deux. Notre réponse finale est donc que la fonction réciproque 𝑓 moins un de 𝑥 est égale à la racine carrée de 𝑥 plus trois ou plus deux, pour 𝑥 est supérieur ou égal à moins trois.

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