Vidéo : Produit scalaire sur les vecteurs

Comprendre comment effectuer des calculs de produit scalaire sur les vecteurs et quelques exemples d’utilisation des produits scalaires pour trouver la mesure de l’angle entre deux vecteurs.

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Transcription de vidéo

Il existe trois façons de multiplier un vecteur. Vous pouvez effectuer une multiplication scalaire dans laquelle vous multipliez chaque composante du vecteur par un nombre réel ou un scalaire. Ainsi, par exemple, trois 𝑣, nous multiplions simplement chaque composante du vecteur 𝑣 par le nombre trois. Vous pouvez également multiplier les vecteurs par des vecteurs et il y a deux saveurs différentes : les produits scalaires et les produits croisés. Dans cette vidéo, nous ne va examiner les produits point, mais nous allons voir façon agréable de les utiliser, et nous allons essayer quelques exemples.

Bien !

Nous avons donc le vecteur 𝑢, qui est sept deux, et le vecteur 𝑣, qui est trois six, et on nous a demandé de trouver le produit scalaire des vecteurs 𝑢 et 𝑣. Donc, voici la notation que nous utilisons : le 𝑢 avec un point puis le 𝑣. Le point n’est pas juste au sol (sur la ligne). C’est en quelque sorte à mi-chemin, si vous voyez ce que je veux dire, l’espace entre 𝑢 et 𝑣, mais c’est la notation alors pour le produit scalaire.

Maintenant, lorsque nous calculons le produit scalaire, nous obtenons une réponse qui est un scalaire ou simplement un nombre réel. Jetons donc un œil à cela. Donc, nous allons juste écrire les vecteurs sous leur forme de coordonnées (composantes). Il s’agit donc de sept virgule deux scalaire trois virgule six. Et pour résoudre ce problème, nous pouvons additionner le produit des composantes horizontales et le produit des composantes verticales. Alors tout d’abord, nous allons faire sept fois trois, puis nous allons ajouter deux fois six.

Maintenant, cela semble un peu bizarre, sept virgule trois plus deux virgule six. Eh bien, cela ne signifie pas sept virgule trois plus deux virgule six. Cela signifie sept fois trois deux fois trois, et le fois est le fois du produit scalaire. Nous n’utilisons pas le signe de multiplication croisée normale car cela confondrait ce type de multiplication avec la multiplication croisée vectorielle. Donc, désolé pour la confusion ici, mais ce n’est qu’un morceau de notation auquel vous allez devoir vous habituer car c’est ce que nous utilisons pour les produits scalaires. Donc, quand vous voyez ce point et que vous vous élevez un peu du sol, cela signifie que nous multiplions ces deux choses ensemble. Donc sept fois trois font vingt et un deux fois six font douze. Lorsque nous les additionnons ensemble, nous obtenons trente-trois. Donc, comme nous l’avons dit, le produit scalaire de deux vecteurs, nous multiplions simplement chaque composante correspondante ensemble, puis additionnons tous ces résultats, et la réponse que nous obtenons n’est qu’un nombre, un scalaire.

Donc, nous allons résumer ce moment-là. Le produit scalaire de deux vecteurs est la somme des produits des composantes correspondantes, nous multiplions donc les composantes 𝑥 ensemble, puis nous avons ajouté le produit des composantes 𝑦 dans ce cas.

Nous travaillions donc avec un exemple à deux dimensions, mais qui peut également être étendu à trois ou quatre ou à toutes les dimensions que nous aimons. Maintenant évidemment les vecteurs 𝑢 et 𝑣 doivent avoir le même nombre de dimensions, mais, vous savez, nous pouvons avoir un deux trois quatre autant que nous aimons ici jusqu’à 𝑛 dimensions dans chacun, et tout ce que nous allons faire sera de multiplier ensemble les composantes correspondantes. C’est donc 𝑢 un fois 𝑣 un, et c’est juste un scalaire, un résultat en nombre réel. Ensuite, 𝑢 deux fois 𝑣 deux. Ensuite, nous allons ajouter 𝑢 trois fois 𝑣 trois et tous les autres 𝑢 quatre 𝑣 quatre, 𝑢 cinq 𝑣 cinq et ainsi de suite tout le long jusqu’à 𝑢 𝑛 fois 𝑣 𝑛. Et donc, nous multiplions simplement un nombre par un nombre, un nombre par un nombre, un nombre par nombre, etc. et les additionnons tous ensemble. La réponse que nous allons obtenir est juste un nombre réel ou un scalaire. C’est donc le processus étendu aux 𝑛 dimensions, autant de dimensions que nous le souhaitons.

Maintenant, pendant que nous sommes ici, revoyons rapidement les normes des vecteurs et mettons simplement quelque chose d’autre en place. Donc, ici, nous avons le vecteur 𝐴𝐵 qui a une composante 𝑥 de cinq et une composante 𝑦 de douze. Maintenant, vous devez vous rappeler que si nous voulions déterminer la norme du vecteur 𝐴𝐵, ce que nous devons faire, c’est utiliser un peu le théorème de Pythagore et calculer la racine carrée de cinq au carré plus douze au carré, ce qui, pour ceux d’entre vous qui sont curieux à ce sujet, la réponse se révèle être treize. Mais ce n’est pas pertinent pour ce que je vais dire. Je veux juste jeter un coup d’œil à l’intérieur de cette racine carrée ici, à l’intérieur de ce radical ici, et regarder cette expression que nous avons. Maintenant, imaginez que nous avons fait vecteur 𝐴𝐵 scalaire vecteur 𝐴𝐵. Ce sera cinq douze scalaire cinq douze. Alors, on va simplement multiplier les composantes correspondantes et ajouter ces résultats. Donc, ça va être cinq fois cinq plus douze fois douze, ce qui nous donne cinq au carré plus douze au carré. Donc, en fait, ce que nous avons ici est le même que ce que nous avons ici, donc ce qui est à l’intérieur de cette racine carrée il y a 𝐴𝐵 point 𝐴𝐵. Donc, la norme du vecteur 𝐴𝐵 n’est que la racine carrée de 𝐴𝐵 point 𝐴𝐵, et nous l’avons fait sur un exemple en deux dimensions, mais cela fonctionne également sur un calcul en trois dimensions, en quatre dimensions, autant de dimensions que nous le souhaitons. C’est donc un résultat simple et utile que nous pouvons utiliser. Donc, tout cela signifie que nous prenons le carré de chaque composante, puis que nous les ajoutons tous ensemble, puis que nous le mettons à l’intérieur de la racine carrée.

Bon, alors maintenant nous avons rencontré des produits scalaires et nous avons essayé un sur, et - ne vous inquiétez pas, nous allons pratiquer un peu peu plus dans un instant. Voici un autre résultat utile qui nous aidera à trouver l’angle entre deux vecteurs. Si nous avons deux vecteurs 𝑢 et 𝑣, ils pourraient être bidimensionnels, tridimensionnels, n’importe quelle dimension, comme nous l’avons dit précédemment, cos de l’angle entre eux est le vecteur 𝑢 divisé par la norme de 𝑢. Voilà donc le vecteur unitaire dans la direction du vecteur 𝑢 point le vecteur unitaire de 𝑣 dans la direction du vecteur 𝑣. Et donc, 𝜃, évidemment comme nous l’avons dit, est l’angle entre ces deux vecteurs, donc c’est un excellent résultat ; nous pouvons réorganiser cela. Donc, évidemment, si cos 𝜃 est égal à tous ces trucs, alors 𝜃 est égal à cos au moins l’un de tous ces trucs. Ce n’est donc qu’un autre léger réarrangement de la formule. Donc, si nous trouvons le produit scalaire des vecteurs unitaires dans les directions de 𝑢 et 𝑣, cela nous donne le cosinus de l’angle entre eux, et à partir de là, nous pouvons trouver l’angle entre eux. Jetons donc un coup d’œil à quelques exemples de cela en action.

Bien ! On nous donne donc un vecteur 𝑢 qui est quatre un et le vecteur 𝑣 où sa forme composante est deux cinq. Nous allons juste faire deux choses : 1) calculer le produit scalaire de ces deux vecteurs, et 2) mesurer l’angle entre eux. Alors d’abord, faisons rapidement un croquis de cette situation. Donc, j’ai le vecteur 𝑢 est quatre un vecteur 𝑣 est deux cinq, ressemble à peu près à cela, et ce que nous essayons également de trouver est cet angle 𝜃, qui est l’angle entre les deux vecteurs. D’accord ! Alors allons-y et faisons cela. Ainsi, pour trouver le produit scalaire des deux vecteurs, rappelez-vous que nous allons juste multiplier les composantes 𝑥 ensemble et ajouter cela au produit des composantes 𝑦. Donc, c’est quatre fois deux et un fois cinq, soit huit plus cinq, ce qui équivaut à treize. Donc, cette partie de la question a été assez rapide. Le produit scalaire de 𝑢 et 𝑣 est treize.

Maintenant, pour trouver l’angle entre eux, nous savons que le cos de l’angle entre eux est le produit scalaire des vecteurs unitaires dans la direction 𝑢 et 𝑣. Et pour trouver les vecteurs unitaires, nous prenons le vecteur 𝑢 et nous le divisons par la grandeur de lui-même, et nous prenons le vecteur 𝑣 et nous le divisons par la grandeur de lui-même. Écrivons donc quelques nombres. Donc, pour le vecteur 𝑢, qui était quatre un, pour calculer l’ampleur de cela, je vais faire la racine carrée de quatre au carré plus un carré. Prenez donc chacun de ces composants, mettez-les au carré, ajoutez le résultat ensemble, prenez la racine carrée de cela. C’est donc fondamentalement notre truc de théorème de Pythagore que nous faisions, et refaisons la même chose pour 𝑣. Et parce que les composantes de 𝑣 étaient deux et cinq, c’est juste un sur deux au carré plus cinq au carré du vecteur 𝑣. Donc, tout cela signifie que nous avons chaque composante de 𝑢 divisée par la norme, puis nous aurons également chaque composante de 𝑣 divisée par sa norme. Donc quatre au carré plus un carré ; c’est seize plus un. Nous avons donc obtenu racine de dix-sept pour celui-ci. Et puis nous divisons simplement la composante 𝑥 par la racine dix-sept et la composante 𝑦 par la racine dix-sept. Faisons donc la même chose pour 𝑣, deux au carré est quatre, cinq au carré est vingt-cinq, nous avons donc obtenu un sur racine vingt-neuf. Et divisant chacune des composantes 𝑥 et 𝑦 par racine vingt-neuf, ce vecteur devient maintenant deux sur la racine vingt-neuf, cinq sur racine vingt-neuf. Ce faisant, le produit scalaire, nous allons se multiplier ce terme par ce terme, et nous allons se multiplier ce terme par ce terme et en ajoutant les résultats ensemble. Ainsi, cos 𝜃 est alors égal à quatre sur racine dix-sept fois deux sur racine vingt-neuf plus un sur racine dix-sept fois cinq sur racine vingt-neuf. Et, quatre fois deux, c’est huit, et dix-sept fois vingt-neuf, c’est quatre cent quatre-vingt-treize. Nous avons donc obtenu huit sur racine quatre neuf trois. Un fois cinq est cinq, donc c’est cinq au-dessus de la racine quatre neuf trois. Huit et cinq font treize, donc cos 𝜃 est égal à treize sur la racine quatre neuf trois. Nous avons donc maintenant juste besoin de faire l’inverse cos de cela. Donc, cos au moins un des treize sur la racine quatre neuf trois qui est cinquante-quatre virgule deux à une décimale, c’est donc notre réponse. Eh bien, c’est notre réponse en degrés à une décimale, donc cet angle est ici de cinquante-quatre virgule deux degrés à une décimale.

Alors, que tout un peu partie b il repose sur le fait que nous le cosinus de l’angle entre les vecteurs est égal au produit scalaire des vecteurs unitaires dans les directions de 𝑢 et 𝑣. Et pour calculer un vecteur unitaire, vous prenez votre vecteur et vous le divisez par sa longueur pour qu’il ait une longueur d’un. Nous avons suivi cela, fait le cos inverse, et nous avons obtenu notre réponse finale.

D’accord, un autre exemple alors.

Trouvez l’angle entre les vecteurs 𝑢 qui est moins trois deux et 𝑣 qui est moins moins cinq trois. Faisons donc un rapide croquis pour voir à quoi cela ressemble.

Donc, 𝑢 est moins trois deux et 𝑣 est moins moins cinq trois, et l’angle entre eux va être cet angle ici, espérons-le. Je vais appeler ça 𝜃, d’accord ? Donc, nous avons juste — nous n’avons pas besoin de travailler sur le produit scalaire de 𝑢 et 𝑣 pour commencer. C’était juste dans la question précédente. Tout ce que cela demande, c’est que nous utilisions le résultat que cos 𝜃 est égal au produit scalaire des vecteurs unitaires dans les directions de 𝑢 et 𝑣. Donc, en fait, je vais réorganiser cela et faire 𝜃 est égal à cos au moins de tout cela, alors écrivons simplement cela. C’est toujours une bonne idée d’écrire le résultat avec lequel vous commencez afin que la chose va conduire votre calcul. Bien ! Faisons un peu de substitution maintenant. Nous savons donc comment déterminer la norme de 𝑢 ; ça va juste être la racine carrée de trois fois le carré moins deux au carré, et nous pouvons simplement écrire ce bit maintenant. Et de même pour le vecteur 𝑣. Donc, vous pouvez déjà voir que cela commence à sembler un peu maladroit parce que j’ai réorganisé cela en 𝜃 égal cos au moins. J’écris cela — tous ces grands crochets à chaque fois, afin que vous puissiez un peu prendre votre décision pour savoir si vous utilisez ce formulaire immédiatement ou si vous utilisez le formulaire précédent que je viens d’utiliser, puis faites votre conversion au cos, prélever au moins. Mais continuons quand même l’exercice, alors évaluons chacun de ces termes. D’accord, donc trois au carré plus moins deux représentent treize, donc le vecteur 𝑢 devient trois sur la racine de moins treize deux sur la racine de treize. Et puis en passant au vecteur 𝑣, cinq au carré plus trois au carré nous donne trente-quatre. Ainsi, les 𝑣 composantes sont moins cinq sur la racine trente-quatre et trois moins sur trente-quatre racines. Nous avons donc juste dois faire le produit scalaire de ceux-ci. Donc ça va être cette composante multipliée par cette composante plus cette composante multipliée par cette composante, ce qui nous donne ceci. Et maintenant, je viens de - j’ai trois sur racine treize fois moins cinq sur racine trente-quatre, et j’ai moins deux fois moins trois sur racine treize fois racine trente-quatre. Donc, cela nous donne moins quinze sur la racine quatre quatre deux plus six sur la racine quatre quatre deux. Ajoutez ces deux ensemble, et j’ai moins neuf sur la racine quatre quatre deux. Donc, si je sors ma calculatrice et que je fais le cos inverse de neuf sur la racine quatre quatre deux, cela me donne un angle de cent quinze virgule trois degrés avec une décimale. Tiens voilà ! Voilà ma réponse. Maintenant, revenons rapidement au diagramme pour nous assurer que tout a du sens. Et cela m’a donné un angle de cent quinze degrés, ce qui correspond à cet angle. Cela ne m’a pas donné cet angle en dehors de ça. Parfois, il vous suffit de vérifier exactement quel angle il est calculé pour vous, donc j’espère que c’est agréable et clair à ce sujet.

D’accord, faisons donc un bref résumé de ce que nous avons vu dans cette vidéo. Le produit scalaire de deux vecteurs : nous prenons simplement chacune des composantes correspondantes des vecteurs et les multiplions ensemble, donc 𝑢 dot 𝑣. Nous avons 𝑢 un 𝑣 un plus 𝑢 deux 𝑣 deux plus 𝑢 trois 𝑣 trois jusqu’à 𝑢 𝑛 𝑣 𝑛, c’est donc un cas simple comme nous l’avons vu dans notre exemple si nous avons un exemple en deux dimensions. Mais il peut être étendu à toutes les dimensions que nous voulons. Et le résultat est juste un nombre, un vrai nombre, un scalaire. Et aussi le produit scalaire des vecteurs unitaires dans les directions des deux vecteurs nous donne le cosinus de l’angle entre eux, ce qui nous permet de déterminer quel est l’angle entre deux vecteurs. Très très utile. D’accord, c’est tout pour l’instant.

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