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Si la droite passant par les points 𝐴 de coordonnées moins treize, huit et 𝐵 de coordonnées vingt, 𝑦 est parallèle à la droite passant par les points 𝐶 de coordonnées moins deux, zéro et 𝐷 de coordonnées sept, 𝑦, quelle est la valeur de 𝑦?
Pour être parallèles, deux droites doivent avoir exactement la même pente. Les pentes doivent être égales. Donc, pour que les pentes soient égales, il faut écrire l’égalité des formules des pentes des deux droites.
Pour trouver la pente d’une droite, on calcule la variation de 𝑦 divisée par la variation de 𝑥, donc 𝑦 deux moins 𝑦 un divisée par 𝑥 deux moins 𝑥 un. Elle s’écrit aussi couramment 𝑦 un moins 𝑦 deux divisée par 𝑥 un moins 𝑥 deux.
Tant que vous respectez le même ordre, les deux formules sont justes. Ici, nous avons nos points. 𝐴 et 𝐵 forment une droite, de même 𝐶 et 𝐷 forment une droite. Maintenant, nommons les points. Pour 𝐴, le moins treize est 𝑥 un, et huit est 𝑦 un ; quant à 𝐵, c’est le deuxième point, donc vingt est 𝑥 deux, et 𝑦 est 𝑦 deux ; de même pour 𝐶 et 𝐷.
Commençons par trouver la pente de de la droite 𝐴𝐵, c’est 𝑦 deux moins 𝑦 un, soit 𝑦 moins huit, sur 𝑥 deux moins 𝑥 un, donc vingt moins moins treize. C’est en fait une addition.
Donc, en haut, nous avons 𝑦 moins huit, ce qui ne se simplifie pas. Et en bas, vingt plus treize égale trente trois. Faisons de même pour la droite 𝐶𝐷.
Donc, pour la pente de la droite 𝐶𝐷, on prend 𝑦 deux moins 𝑦 un, donc 𝑦 moins zéro, sur 𝑥 deux moins 𝑥 un, donc sept moins moins deux. Donc, la pente de la droite 𝐶𝐷 est 𝑦 moins zéro sur neuf.
Or, ces droites sont parallèles, ce qui veut dire qu’elles ont exactement la même pente. On peut donc écrire l’égalité de ces deux fractions, et on peut le faire car ces droites sont censées être parallèles. Donc, les pentes doivent être égales.
Donc, en écrivant qu’elles sont égales, on peut faire un produit en croix et trouver 𝑦. Donc, ici, on écrit l’égalité des pentes et on fait le produit en croix.
On a donc neuf fois 𝑦 moins huit égale trente-trois fois 𝑦 moins zéro. Maintenant, on distribue. On prend donc neuf fois 𝑦, puis neuf fois moins huit, trente-trois fois 𝑦 et trente-trois fois zéro.
On a donc neuf 𝑦 moins soixante-douze égale trente-trois 𝑦. Le moins zéro n’a aucun effet. Maintenant, il faut isoler 𝑦. Alors retranchons neuf 𝑦 de chaque côté de l’équation.
Résultat, les neuf 𝑦 s’annulent. Il reste moins soixante-douze du côté gauche de l’équation. Et du côté droit, trente-trois 𝑦 moins neuf 𝑦 égale vingt-quatre 𝑦.
Et la dernière étape est de diviser chaque côté par vingt-quatre, ce qui donne 𝑦 égale moins trois. Donc, pour trouver 𝑦 sachant que ces droites sont parallèles, on prend les pentes, on les fixe égales l’une à l’autre, puis on résout l’équation en 𝑦. Et on obtient 𝑦 égale moins trois.
