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Vidéo de question : Utilisation de la matrice inverse pour résoudre un système d’équations linéaires Mathématiques

Utilisez la matrice inverse pour résoudre [2, 3, 4, −5, 5, 6, 7, 8, 9] [𝑥, 𝑦, 𝑧] = [0, 45, −45], en donnant votre réponse sous la forme d’une matrice appropriée.

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Transcription de vidéo

Utilisez la matrice inverse pour résoudre l’équation matricielle, où la matrice trois par trois avec les éléments deux, trois, quatre ; moins cinq, cinq, six ; sept, huit, neuf multipliée par la matrice colonne avec les éléments 𝑥, 𝑦 et 𝑧 égale la matrice colonne avec les éléments zéro, 45 et moins 45, en donnant votre réponse sous la forme d’une matrice appropriée.

On nous donne un système d’équations linéaires sous la forme 𝐴 multiplié par 𝐮 égale 𝐯, où 𝐴 est une matrice trois par trois, 𝐮 est une matrice colonne et 𝐯 est une matrice colonne. La matrice colonne 𝐮 contient les trois inconnues 𝑥, 𝑦 et 𝑧. On nous demande de résoudre ce système en utilisant la matrice inverse. Cela signifie que si 𝐴 est inversible, alors il existe une matrice inverse de 𝐴. Si nous trouvons l’inverse de 𝐴, nous pouvons multiplier notre équation à gauche par 𝐴 moins un. Nous pouvons utiliser le fait que 𝐴 moins un multiplié par 𝐴 est égal à 𝐴𝐴 moins un, ce qui est égal à la matrice identité pour une matrice inversible 𝑛 par 𝑛.

En rappelant que la matrice identité 𝑛 par 𝑛 est la matrice dont les éléments sont tous nuls à l’exception de ceux de la diagonale principale qui sont tous égaux à un, nous aurons, pour une matrice trois par trois, une matrice comme indiqué. Sur le côté gauche, nous avons 𝐴 moins un 𝐴, qui est égal à 𝐼, multiplié par 𝐮. De plus, 𝐼 multiplié par 𝐮 est simplement 𝐮. Ainsi, nous avons isolé 𝐮 sur le côté gauche, en rappelant que 𝐮 est notre matrice colonne avec les éléments 𝑥, 𝑦, 𝑧. Ce sont nos inconnues. Sur notre côté droit, nous avons 𝐴 moins un multiplié par 𝐯. Ainsi, si nous trouvons 𝐴 moins un, nous pouvons résoudre l’équation pour 𝑥, 𝑦 et 𝑧.

Pour trouver l’inverse de la matrice 𝐴, nous allons utiliser la méthode de l’adjointe. C’est-à-dire, pour une matrice inversible 𝑛 par 𝑛, que l’inverse de 𝐴 est définie par un sur le déterminant de 𝐴 multiplié par la matrice adjointe de 𝐴. Cela signifie que nous devrons trouver le déterminant de la matrice 𝐴 et la matrice adjointe de 𝐴. Pour le déterminant, nous pouvons développer le long de la première ligne de notre matrice 𝐴 de sorte que nous avons le déterminant de 𝐴 égale l’élément 𝑎 un un, soit deux, multiplié par le déterminant de la matrice mineure deux par deux 𝐴 un un moins l’élément 𝑎 un deux multiplié par le déterminant de sa matrice mineure plus l’élément 𝑎 un trois, soit quatre, multiplié par le déterminant de sa matrice mineure. Cela en rappelant que la matrice mineure 𝐴 𝑖𝑗 est la matrice 𝐴 avec la ligne 𝑖 et la colonne 𝑗 supprimées.

Ainsi, par exemple, dans notre cas, la matrice mineure 𝐴 un un est la matrice deux par deux résultant de la suppression de la ligne un et de la colonne un de notre matrice 𝐴. La matrice mineure 𝐴 un un est donc la matrice deux par deux avec les éléments cinq, six, huit et neuf. De même, pour notre deuxième terme, la matrice mineure 𝐴 un deux est la matrice deux par deux avec les éléments moins cinq, six, sept et neuf. Enfin, pour notre troisième terme, la matrice mineure 𝐴 un trois est la matrice deux par deux avec les éléments moins cinq, cinq, sept et huit. Pour évaluer cela, nous allons devoir calculer nos déterminants de matrices de taille deux par deux. Nous rappelons que pour une matrice deux par deux notée 𝑀 avec les éléments 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, le déterminant de 𝑀 est égal à 𝑎𝑑 moins 𝑏𝑐.

Ainsi, par exemple, dans notre premier terme, le déterminant est cinq multiplié par neuf moins six multiplié par huit. Soit 45 moins 48, ce qui est égal à moins trois, de sorte que notre premier terme égale deux fois moins trois, soit moins six. Pour notre deuxième terme, nous aurons moins trois multiplié par moins cinq fois neuf moins six fois sept, soit moins trois fois moins 87. Enfin, pour notre troisième terme, nous avons quatre multiplié par moins cinq fois huit moins cinq fois sept, soit quatre fois moins 75. Notre déterminant est alors moins six plus 261 moins 300, soit moins 45. Maintenant que nous avons le déterminant de la matrice 𝐴, nous devons trouver sa matrice adjointe.

Maintenant, en faisant de la place et en notant notre déterminant, nous rappelons que l’adjointe d’une matrice est la transposée de la matrice de ses cofacteurs, qui, pour une matrice trois par trois, est comme indiqué. Pour l’élément 𝑎 𝑖𝑗, le cofacteur 𝑐 𝑖𝑗 est moins un élevé à la puissance 𝑖 plus 𝑗 multiplié par le déterminant de la matrice mineure 𝐴 𝑖𝑗. Notez que le moins un élevé à la puissance 𝑖 plus 𝑗 nous donne la parité ou le signe du cofacteur. Pour une matrice trois par trois, le signe est positif, négatif, positif ; négatif, positif, négatif ; et positif, négatif, positif.

Nous avons déjà vu trois des cofacteurs lors du calcul du déterminant de notre matrice. 𝑐 un un est le déterminant positif de la matrice mineure 𝐴 un un. Cela donne cinq multiplié par neuf moins six multiplié par huit, soit 45 moins 48, soit moins trois, comme nous l’avons vu précédemment. De même, notre deuxième cofacteur 𝑐 un deux égale moins moins 87. Soit plus 87. Enfin, notre troisième cofacteur 𝑐 un trois égale moins 75. Alors maintenant, écrivons les deux lignes de cofacteurs suivantes. Notre cofacteur 𝑐 deux un égale cinq, 𝑐 deux deux égale moins 10 et 𝑐 deux trois égale cinq. Enfin, notre dernière ligne de cofacteurs est 𝑐 trois un égale moins deux, 𝑐 trois deux égale moins 32 et 𝑐 trois trois égale 25. Notez qu’il est très important d’appliquer le signe correct, soit positif, négatif, positif, etc.

Alors maintenant, nous pouvons écrire notre matrice adjointe. Elle est la transposée de la matrice avec les éléments moins trois, 87, moins 75 ; cinq, moins 10, cinq ; moins deux, moins 32, 25. Maintenant, en faisant de la place, nous pouvons écrire notre matrice adjointe, qui est la transposée de la matrice des cofacteurs, où, pour obtenir la transposée, nous échangeons les lignes et les colonnes de la matrice. Cela signifie que notre première ligne devient notre première colonne, notre deuxième ligne devient notre deuxième colonne et notre troisième ligne devient notre troisième colonne. Maintenant, rappelez-vous, ceci est en fait l’inverse de notre matrice 𝐴 que nous cherchons pour le moment. Enfin, l’inverse est un sur le déterminant multiplié par la matrice adjointe, qui, dans notre cas, est un sur moins 45 fois notre matrice adjointe. Bien sûr, nous pouvons déplacer notre signe négatif vers le numérateur.

Maintenant, rappelez-vous, notre équation initiale est 𝐮 égale 𝐴 moins un multiplié par 𝐯. En écrivant cela avec nos matrices, nous avons l’équation indiquée. Pour résoudre cela, nous multiplions simplement le côté droit et utilisons l’égalité des matrices. Avant de faire cela, cependant, nous pouvons simplifier un peu les choses si nous multiplions notre matrice 𝐯 par moins un sur 45. Cela nous donnera zéro, moins 45 sur 45, soit moins un, et moins moins 45 sur 45, soit plus un. Cela élimine ensuite notre facteur scalaire de moins un sur 45. Ainsi, à droite, nous remplaçons le moins un sur 45 fois 𝐯 par la matrice colonne avec les éléments zéro, moins un, un.

En utilisant la multiplication matricielle, nous avons donc moins trois multiplié par zéro plus cinq multiplié par moins un plus moins deux multiplié par un. De même, pour notre deuxième ligne, nous avons 87 multiplié par zéro plus moins 10 fois moins un plus moins 32 fois un et, dans la troisième ligne, moins 75 fois zéro plus cinq fois moins un plus 25 fois un. Ces trois lignes sont alors égales à moins sept, moins 22 et 20. Une matrice appropriée pour la solution de notre équation matricielle est donc la matrice colonne avec les éléments moins sept, moins 22 et 20. Ce sont nos valeurs pour 𝑥, 𝑦 et 𝑧.

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