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La fonction dans le tableau suivant est une fonction de probabilité d’une variable aléatoire discrète 𝑋. Sachant que l’espérance de 𝑋 est égale à 6,5, calculez l’écart-type de 𝑋. Donnez votre réponse au centième près.
Nous avons donc un tableau contenant les valeurs possibles de 𝑥 et les probabilités de ces valeurs possibles. Cependant, il manque une des valeurs possibles. A la place, nous avons 𝐴. Nous devons donc trouver la valeur de 𝐴.
Dans la question, on nous dit que l’espérance est 6,5. Nous pouvons utiliser cette information pour nous aider à trouver la valeur de 𝐴. Rappelons l’équation de l’espérance. L’espérance ou 𝐸 de 𝑋 est égale à la somme de 𝑥𝑖 fois 𝑓 de 𝑥𝑖. Cela signifie que nous prenons chacune des valeurs possibles de 𝑥 et les multiplions par leurs probabilités données, puis additionnons tous ces produits.
Alors, calculons ce que vaut 𝐸 de 𝑋. 𝐸 de 𝑋 est égal à trois fois 0,2 plus 𝐴 fois 0,1 plus six fois 0,1 plus huit fois 0,6, Maintenant, nous pouvons simplifier cela. Nous obtenons 𝐸 de 𝑋 est égal à 0,6 plus 0,1𝐴 plus 0,6 plus 4.8. Cela équivaut à six plus 0,1𝐴.
Maintenant, d’après l’énoncé, nous savons que l’espérance est égale à 6,5. Ainsi, par conséquent, nous avons deux valeurs différentes pour 𝐸 de 𝑋. Nous pouvons les rendre équivalentes l’une à l’autre. Nous obtenons donc 6,5 égal à six plus 0,1𝐴.
Maintenant, nous pouvons soustraire six de chaque membre. Cela nous donne 0,5 est égal à 0,1𝐴. Maintenant, il est un peu difficile de diviser par 0,1, Écrivons donc 0,1 sous forme de fraction. Nous obtenons 0,5 égal à un dixième fois 𝐴. Maintenant, nous multiplions simplement les deux membres par 10, 𝐴 est égal à cinq. Maintenant, réécrivons notre tableau avec la valeur de 𝐴 égale cinq.
Nous sommes maintenant prêts à calculer l’écart-type. Rappelons l’équation pour calculer l’écart-type. On sait que l’écart-type est égal à la racine carrée de l’espérance des carrés moins le carré de l’espérance. Nous allons calculer chacune de ces composantes individuellement.
Ainsi, en commençant par l’espérance des carrés, nous devons nous rappeler l’équation pour la calculer. Alors, 𝐸 de 𝑋 au carré est égal à la somme de un à quatre de 𝑥𝑖 au carré multipliée par 𝑓 de 𝑥𝑖.
Ainsi, cela signifie que nous prenons le carré de chacune de nos valeurs possibles, puis les multiplions par leurs probabilités respectives et les additionnons tous ensemble. 𝐸 de 𝑋 au carré est égal à trois au carré fois 0,2 plus cinq au carré fois 0,1 plus six au carré fois 0,1 plus huit au carré fois 0,6,
Maintenant, développons les carrés. Cela nous donne neuf fois 0,2 plus 25 fois 0,1 plus 36 fois 0,1 plus 64 fois 0,6, Ensuite, nous allons multiplier. Nous obtenons 1,8 plus 2,5 plus 3.6 plus 38,4. Ensuite, additionner tout cela ensemble nous donne l’espérance des carrés égale à 46,3.
Maintenant, calculons le carré de l’espérance. Nous pouvons le faire étant donnée la valeur de 𝐸 de 𝑋 dans la question. Ainsi, cela équivaut à 6,5 au carré, ce qui correspond à 42,25. Maintenant, nous avons toutes les valeurs dont nous avons besoin pour calculer notre écart-type. Alors, substituons-les dans l’équation.
Cela nous donne que l’écart-type est égal à la racine carrée de 46,3 moins 42,5. Maintenant, nous tapons simplement cela dans notre calculatrice, en nous souvenant d’arrondir notre réponse au centième près. Cela nous donne une solution selon laquelle l’écart-type est égal à 2,01.
