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Vidéo de la leçon : Volumes de cônes

Dans cette vidéo, nous apprendrons à calculer les volumes de cônes et à résoudre des problèmes, y compris des situations réelles.

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Transcription de vidéo

Dans cette vidéo, nous apprendrons à calculer les volumes de cônes et à résoudre des problèmes, y compris des situations réelles. Nous commencerons par donner une définition d’un cône, puis expliquerons la formule utilisée pour calculer son volume.

Considérons le cône comme indiqué dans la figure. Un cône est une figure géométrique 3D qui a une base circulaire et un côté incurvé qui se termine par un seul sommet ou sommet. Un cône de révolution est un cône dont le sommet se situe au-dessus du centre de gravité de la base. Lorsque la base est circulaire, le sommet se trouve au-dessus du centre du cercle. La hauteur d’un cône est la distance du sommet à la base. Ceci est souvent appelé la hauteur perpendiculaire. La hauteur oblique (apothème) d’un cône est la distance entre le sommet et tout point situé sur la circonférence de la base. Enfin, le rayon, la hauteur et la hauteur oblique forment un triangle rectangle à l’intérieur du cône.

Maintenant que nous nous sommes rappelé à quoi ressemble un cône, considérons son volume. Le volume d’un cône est égal au tiers de 𝜋𝑟 carré multiplié par ℎ. Comme la base d’un cône est circulaire, 𝜋𝑟 au carré fait référence à l’aire de la base. ℎ se réfère à la hauteur perpendiculaire ou verticale du sommet ou du sommet du cône au centre de la base. Le rayon est la distance de ce centre à l’extérieur ou à la circonférence de la base circulaire.

Prenons un exemple où le rayon de la base circulaire est de quatre centimètres et la hauteur du cône est de 12 centimètres. Le volume du cône serait égal à un tiers multiplié par 𝜋 multiplié par quatre au carré multiplié par 12. Quatre au carré est égal à 16. Un tiers multiplié par 12 ou un tiers de 12 est quatre. Donc, on se retrouve avec 𝜋 multiplié par 16 multiplié par quatre. 16 multiplié par quatre est égal à 64. Par conséquent, le volume est égal à 64𝜋. Nous mesurons le volume en unités cubiques. Par conséquent, le volume de ce cône est de 64𝜋 centimètres cubes. Nous pourrions trouver cela comme une réponse décimale en multipliant 64 par 𝜋. Cela nous donne 201.0619 et ainsi de suite. L’arrondi à deux décimales nous donne un volume de 201.06 centimètres cubes.

Nous allons maintenant examiner quelques questions spécifiques qui impliquent de trouver le volume d’un cône.

Calculez le volume d’un cône d’un diamètre de 10.5 et d’une hauteur de 11.3. Donnez votre solution à deux décimales.

Commençons par dessiner une figure du cône. On nous dit que le diamètre est de 10.5. Il s’agit d’une distance d’un côté de la base circulaire à l’autre, passant par le centre. La hauteur du cône est égale à 11.3. Il s’agit de la distance entre le sommet ou le sommet du cône et le centre de la base. Afin de calculer le volume d’un cône, nous utilisons la formule un tiers 𝜋𝑟 au carré multipliée par ℎ. À ce stade, nous connaissons la hauteur du cône, mais nous ne connaissons pas le rayon.

Le rayon de la base circulaire est la distance du centre à la circonférence du cercle. C’est égal à la moitié du diamètre. Par conséquent, pour calculer le rayon, nous divisons 10.5 par deux. Ceci est égal à 5.25. Et nous avons maintenant des valeurs pour le rayon et la hauteur du cône. La substitution de ces valeurs nous donne un volume égal au tiers multiplié par 𝜋 multiplié par 5.25 au carré multiplié par 11.3. Taper ceci dans la calculatrice nous donne 326.1562 et ainsi de suite. On nous a demandé d’arrondir notre solution à deux décimales. Comme les six dans la colonne des millièmes sont supérieurs à cinq, nous arrondirons à 326.16. Le volume est mesuré en unités cubiques. Comme il n’y a pas d’unités spécifiques dans cette question, le volume du cône est égal à 326.16 unités cubiques.

Nous allons maintenant examiner une deuxième question, où l’on nous donne la hauteur et le périmètre de base d’un cône.

Déterminer, au dixième près, le volume d’un cône de révolution ayant une hauteur de 106 centimètres, étant donné que le périmètre de sa base est de 318 centimètres. Utilisez 𝜋 égal à 22 sur sept.

Le cône dans cette question a une hauteur de 106 centimètres. Il s’agit de la distance entre le sommet et le centre de la base circulaire. Le périmètre de la base est de 318 centimètres. Comme la base est un cercle, c’est la circonférence du cercle. On nous demande de calculer le volume du cône. Ceci est égal à un tiers 𝜋𝑟 au carré multiplié par la hauteur.

À l’heure actuelle, nous connaissons la hauteur du cône, mais nous ne connaissons pas son rayon. Nous rappelons que la circonférence d’un cercle est égale à deux 𝜋𝑟. Cela signifie que 318 est égal à deux 𝜋𝑟. Comme on nous dit d’utiliser 𝜋 comme 22 sur sept, 318 est égal à deux multiplié par 22 sur sept multiplié par 𝑟. Le côté droit de notre équation se simplifie à 44 sur sept 𝑟. Diviser les deux côtés par 44 sur sept nous donne 𝑟 est égal à 1113 sur 22. Nous pouvons maintenant remplacer cette valeur ainsi que la hauteur dans notre formule par le volume d’un cône. Le volume est égal à un tiers multiplié par 22 sur sept multiplié par 1113 sur 22 au carré multiplié par 106. Le taper dans la calculatrice nous donne 284219.727 et ainsi de suite.

On nous demande de donner notre réponse au dixième près. Par conséquent, le nombre décisif est le deux dans la colonne des centièmes. Comme c’est moins de cinq, nous arrondissons. Le volume d’un cône de révolution avec une hauteur de 106 centimètres et une circonférence de base de 318 centimètres est de 284219.7 centimètres cubes. Notez que nos unités ici sont au cube car nous avons affaire au volume.

Notre prochaine question consiste à calculer le rayon du cône, compte tenu de ses hauteurs et de son volume.

Un cône a une hauteur perpendiculaire de 92 pouces et un volume de 420𝜋 pouces cubes. Calculez le rayon du cône en donnant votre réponse au pouce près.

Afin de répondre à cette question, nous devons rappeler la formule du volume d’un cône. Ceci est égal à un tiers 𝜋𝑟 au carré multiplié par ℎ, où ℎ est la hauteur perpendiculaire du cône. Dans cette question, nous savons que le volume est de 420𝜋 pouces cubes. La hauteur du cône est de 92 pouces. Cela signifie que 420𝜋 est égal à un tiers 𝜋𝑟 au carré multiplié par 92. Nous pouvons diviser les deux côtés de cette équation par 𝜋. Nous pouvons également multiplier les deux côtés par trois. Cela nous donne 1260 est égal à 92𝑟 au carré. Ensuite, nous pouvons diviser les deux côtés par 92 de sorte que 𝑟 au carré soit égal à 1260 sur 92. Enfin, nous racine carrée des deux côtés de l’équation. Le rayon du cône est égal à la racine carrée de 1260 sur 92. La saisie de ceci dans la calculatrice nous donne 3.70076 et ainsi de suite.

Comme nous voulons la réponse au pouce près, nous devons considérer le chiffre dans la colonne des dixièmes. C’est plus que cinq. Donc, nous arrondissons. Et 𝑟 est égal à quatre. Le rayon d’un cône d’une hauteur perpendiculaire de 92 pouces et d’un volume de 420𝜋 pouces cubes est de quatre pouces, au pouce le plus proche. Nous pourrions vérifier cette réponse en substituant notre valeur à 𝑟 dans la formule initiale.

La dernière question que nous allons examiner consiste à comparer les volumes d’un cône et d’une pyramide.

Quel est le plus grand en volume, un cône de révolution ayant un rayon de base de 25 centimètres et une hauteur de 56 centimètres, ou une pyramide carrée droite ayant une base avec un périmètre de 176 centimètres et une hauteur de 48 centimètres ?

Avant de commencer cette question, il convient de rappeler que le volume d’un cône et le volume d’une pyramide ont la même formule de base. Le volume de ces deux formes 3D est égal au tiers de l’aire de base multiplié par la hauteur. Lorsqu’il s’agit d’un cône, cela devient un tiers 𝜋𝑟 au carré multiplié par la hauteur. En effet, l’aire de base d’un cône est un cercle et l’aire d’un cercle est égale à 𝜋𝑟 au carré. Lorsqu’il s’agit d’une pyramide carrée, le volume est égal à un tiers multiplié par 𝑙 au carré multiplié par ℎ. En effet, l’aire d’un carré est égale à sa longueur au carré. Le cône a un rayon de base de 25 centimètres et une hauteur de 56 centimètres. Par conséquent, son volume est égal à un tiers multiplié par 𝜋 multiplié par 25 au carré multiplié par 56. Le taper dans la calculatrice nous donne 36651.914 et ainsi de suite. Le volume du cône à la première décimale est de 36651.9 centimètres cubes.

On sait que le périmètre du carré est égal à 176 centimètres. Comme chaque côté du carré est de longueur égale, chaque longueur sera 176 divisée par quatre. Cela équivaut à 44 centimètres. Comme la hauteur de la pyramide carrée est de 48 centimètres, son volume sera égal au tiers multiplié par 44 au carré multiplié par 48. Ceci est égal à 30976. Par conséquent, le volume des pyramides à base carrée est de 30976 centimètres cubes. Nous notons que nos unités de volume sont toujours au cube. Comme 36651.9 est supérieur à 30976, la forme qui a le plus grand volume est le cône.

Nous allons maintenant récapituler les points clés de cette vidéo. Le cône est une figure 3D avec une base circulaire et un côté incurvé qui se termine par un seul sommet ou sommet. Le volume d’un cône est égal à un tiers de 𝜋𝑟 au carré multiplié par ℎ, où ℎ est la hauteur perpendiculaire du centre de la base au sommet. Comme la base d’un cône est un cercle, 𝜋𝑟 au carré correspond à l’aire de la base. Le volume est mesuré en unités cubiques, par exemple, en centimètres cubes, mètres cubes ou pouces cubes. Nous avons utilisé notre formule pour résoudre des problèmes impliquant le volume d’un cône. Et nous avons également comparé le volume d’un cône à d’autres formes 3D.

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