Vidéo question :: Utilisation de la loi des sinus pour calculer toutes les mesures possibles d’un angle dans un triangle Mathématiques

Transcription de la vidéo

Dans un triangle 𝐴𝐵𝐶, 𝑎 est égal à deux centimètres, 𝑏 est égal à cinq centimètres et l’angle 𝐵 mesure 40 degrés. Trouvez toutes les mesures possibles de l’angle 𝐴 au degré près.

Dans cette question, on nous donne les longueurs de deux côtés du triangle ainsi que la mesure d’un des angles. Et on nous demande de trouver toutes les mesures possibles d’un deuxième angle 𝐴. Si le triangle 𝐴𝐵𝐶 existe avec les mesures données, on peut trouver une mesure de l’angle 𝐴 à l’aide de la loi des sinus. D’après cette formule, sin 𝐴 sur 𝑎 égale sin 𝐵 sur 𝑏 égale sin 𝐶 sur c, où 𝐴, 𝐵 et 𝐶 majuscules sont les mesures des trois angles, et 𝑎, 𝑏 et c minuscules sont les longueurs des côtés opposés à ces angles, respectivement.

En utilisant la loi des sinus avec les valeurs de l’énoncé, on trouve sin 𝐴 sur deux égale sin de 40 degrés sur cinq. On peut multiplier par deux, ce qui donne sin 𝐴 égale deux multiplié par sin 40 degrés divisé par cinq. La calculatrice nous donne 0,2571… On peut alors prendre le sinus inverse de chaque côté de cette équation, on obtient 𝐴 égale 14,89.... Il est demandé d’arrondir la réponse au degré près. Donc, une mesure possible de l’angle 𝐴 est 15 degrés.

Pour savoir s’il existe une deuxième solution, rappelons que le sinus de 180 degrés moins 𝜃 est égal à sin 𝜃. Comme 180 degrés moins 15 degrés égale 165 degrés, le sin de 165 degrés est égal au sin de 15 degrés. Il faut donc vérifier si 165 degrés est une solution correcte. Puisque la somme des angles d’un triangle est de 180 degrés et que 165 plus 40 égale 205, 165 degrés n’est pas une solution valide de ce problème. On peut donc en conclure que la seule mesure possible de l’angle 𝐴 est 15 degrés, à un degré près.

Notez bien qu’on aurait pu établir qu’il n’y avait qu’une seule solution en examinant les mesures données dans la question, car si l’angle 𝐵 est aigu et que la longueur du côté 𝑏 est supérieure à la longueur du côté 𝑎, alors un seul triangle existe. Et cela signifie qu’il n’existe qu’une seule mesure possible pour l’angle 𝐴.