Transcription de la vidéo
Un satellite est en orbite autour de la Terre avec un rayon orbital de 7720 kilomètres et se déplace à une vitesse de 7,2 kilomètres par seconde. Le satellite a une orbite circulaire. Quelle est la circonférence de l’orbite du satellite ? Donnez votre réponse en kilomètres en utilisant la notation scientifique à une décimale près. Quelle est la période de l’orbite du satellite ? Donnez votre réponse en minutes à la minute près.
Alors, dans cette question, nous avons un satellite en orbite autour de la Terre. Et dans la première partie de la question, on nous demande de déterminer la circonférence de l’orbite du satellite. On nous dit que le satellite a un rayon orbital de 7720 kilomètres. Donc, si cette tache bleue représente la Terre et que cette tache rose est le satellite, cette ligne en pointillés orange représente la trajectoire de l’orbite du satellite et cette orbite a un rayon de 𝑟 mesuré à partir du centre de masse de la Terre, où 𝑟 est égal à 7720 kilomètres. Nous savons que cette orbite est circulaire, et on nous demande de trouver sa circonférence.
On peut rappeler que la circonférence d’un cercle 𝑐 est égale à deux 𝜋 multipliés par le rayon 𝑟 de ce cercle. En insérant la valeur de 𝑟, qui pour ce satellite est de 7720 kilomètres, on obtient que la circonférence de l’orbite du satellite soit égale à deux 𝜋 multipliés par 7720 kilomètres. Cette multiplication nous donne que la circonférence est égale à 48506,19… kilomètres, où les trois petits points indiquent qu’il y a d’autres décimales.
La question nous demande de donner notre réponse en kilomètres en utilisant la notation scientifique à une décimale près. Jusqu’à présent, nous avons atteint l’une de ces trois choses. Notre réponse est déjà en kilomètres. Maintenant, il suffit de le convertir en notation scientifique et de l’arrondir à une décimale. Pour mettre ce nombre en notation scientifique, on déplace la virgule d’un, deux, trois, quatre rangs vers la gauche. Ensuite, notre résultat devient 4,850619 etcetera fois 10 puissance quatre, toujours en kilomètres. Enfin, en arrondissant à une décimale, le nombre s’arrondi pour donner 4,9 fois 10 puissance quatre kilomètres. Et donc, notre réponse à la première partie de la question est que la circonférence de l’orbite du satellite est égale à 4,9 fois 10 puissance quatre kilomètres.
Si nous regardons maintenant la deuxième partie de la question, nous voyons qu’on nous demande de trouver la période de l’orbite du satellite. Nous savons que le rayon de l’orbite est de 7720 kilomètres, et la question nous dit également que le satellite se déplace sur cette orbite à une vitesse de 7,2 kilomètres par seconde. Nommons cette vitesse 𝑣. On peut rappeler que la période orbitale 𝑇 majuscule est égale à deux 𝜋 multipliés par le rayon 𝑟 divisé par la vitesse 𝑣.
Il convient de souligner que cette équation ne nous dit rien de particulièrement étrange. Ces deux 𝜋𝑟 au numérateur sont simplement égales à la circonférence 𝑐 de l’orbite, en d’autres mots, la distance parcourue par le satellite en un temps égal à une période majuscule 𝑇. Donc, cette équation dit vraiment que le temps mis par le satellite pour parcourir une orbite est égal à la distance parcourue sur cette orbite divisée par la vitesse du satellite. En multipliant les deux côtés par la vitesse et en annulant les vitesses au numérateur et au dénominateur à droite, puis en divisant les deux côtés par le temps et en annulant le temps au numérateur avec le temps au dénominateur à gauche, alors nous voyons que cette formule n’était vraiment rien de plus qu’une façon différente d’écrire l’équation qui dit que la vitesse est égale à la distance divisée par le temps.
Nous savons que deux 𝜋 fois le rayon 𝑟 est égal à la circonférence 𝑐 de l’orbite, et nous avons déjà trouvé la valeur de cette circonférence. En substituant la circonférence 𝑐 à la place de deux 𝜋𝑟 dans cette équation, on obtient que 𝑇 majuscule est égal à 𝑐 divisé par 𝑣. Ensuite, en insérant nos valeurs pour la circonférence 𝑐 et la vitesse 𝑣, nous obtenons que la période 𝑇 majuscule est égale à 4,9 fois 10 puissance quatre kilomètres divisés par 7,2 kilomètres par seconde.
Pour faciliter la notation, nous avons écrit ici la valeur arrondie de la circonférence. Mais lorsque nous faisons le calcul, nous devons faire attention à utiliser la valeur exacte au complet. Lorsque nous faisons cette division, nous constatons que la valeur de la période est égale à 6736,97 et ainsi de suite avec des décimales supplémentaires. Et puisque la circonférence est donnée en kilomètres et la vitesse est en kilomètres par seconde, alors notre période 𝑇 majuscule aura comme unité des secondes. La question nous demande de donner notre réponse en minutes à la minute près. Puisqu’il y a 60 secondes dans une minute ou, de manière équivalente, il y a un soixantième de minute dans une seconde, alors pour convertir notre résultat en minutes, nous prenons notre valeur en secondes et la multiplions par un sur 60 minutes par seconde.
Lorsque nous regardons les unités, nous voyons que nous avons des secondes qui s’annulent avec le par seconde. Donc, il nous reste des minutes. Cette multiplication nous donne que la période 𝑇 majuscule est égale à 112,28… minutes, où là encore les trois petits points servent à indiquer qu’il y a davantage de décimales. La dernière étape consiste à arrondir ce résultat à la minute près. Lorsque nous faisons cela, nous obtenons notre réponse finale que, à la minute près, la période de l’orbite du satellite est égale à 112 minutes.
