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Vidéo : Multiplication des racines carrées

Anne-Claire Dupuis

Les racines carrées sont simplifiées en décomposant le nombre sous la racine en un produit contenant un carré parfait. Les entiers résultants sont alors multipliés sans calculatrice. Des exemples de multiplication de racines carrées individuelles ainsi qu’avec de multiples parenthèses sont traités.

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Transcription de vidéo

Dans cette vidéo, nous allons apprendre comment multiplier des racines carrées.

La racine carrée d’un nombre est la longueur du côté du carré qui a pour aire ce nombre. Ainsi, la longueur du côté du carré d’aire cinq est racine carrée de cinq.

Commençons avec cet exemple : simplifier cinq racines de cinq fois racine de 45.

Nous allons d’abord regarder si les racines carrées dans cette expression peuvent être simplifiées. Et pour cela, nous allons voir si le nombre écrit sous le signe radical peut être décomposé en un produit de deux facteurs dont l’un est un carré parfait.

Cinq étant un nombre premier nous ne pouvons pas le décomposer plus. Par contre, la décomposition de 45 en facteurs premiers nous donne trois fois trois fois cinq, et nous voyons apparaître ici le nombre neuf qui est un carré parfait.

Nous pouvons donc réécrire notre autre expression cinq racines de cinq fois racine de 45, d’abord en réalisant que cinq racines de cinq est la même chose que cinq fois racine de cinq, et en réécrivant notre racine de 45 comme racine de neuf fois cinq, et nous allons maintenant séparer ce racine de neuf fois cinq en un produit de racine de neuf fois racine de cinq.

Et c’est là qu’on voit l’intérêt du carré parfait, puisque racine de neuf bien sûr est trois.

Maintenant, nous allons utiliser la commutativité de la multiplication, c’est-à-dire que nous allons changer l’ordre des termes. À savoir ici, nous allons inverser la place de racine de cinq et de trois, et nous allons maintenant multiplier les termes deux à deux comme indiqué, ce qui nous donne cinq fois trois, 15, et racine de cinq fois racine de cinq, c’est bien sûr cinq par définition. Et 15 fois cinq nous donne 75, donc notre résultat est 75.

Notre deuxième exemple : simplifier quatre racines de sept fois deux racines de 49.

Ici, rappelez-vous que quatre racines de sept veut dire quatre fois racine de sept, et deux racines de 49 veut dire deux fois racine de 49. Aussi, remarquez que 49 est un carré parfait puisque c’est sept fois sept.

Notre expression est donc égale à quatre fois racine de sept fois deux fois sept.

De même que précédemment, nous pouvons réarranger les termes de la multiplication comme suit, ce qui nous donne quatre fois deux fois sept fois racine de sept. Ce qui donne au total, 56 racines de sept.

Ici, racine de sept ne peut pas être simplifiée puisque sept est un nombre premier, et donc notre réponse est 56 racines de sept.

Dans cet exemple, on nous demande de développer cinq fois trois moins deux racines de cinq.

Ici nous avons cinq qui multiplie deux termes entre parenthèses, c’est-à-dire que nous allons avoir cinq fois le premier terme moins cinq fois le deuxième terme. C’est-à-dire cinq fois trois, ce qui nous donne 15, et cinq fois deux racines de cinq, c’est-à-dire cinq fois deux fois racine de cinq est donc 10 racines de cinq.

Notre résultat est donc 15 moins 10 racines de cinq.

Autre exemple : simplifier trois racines de trois fois deux plus cinq racines de trois.

Comme précédemment, le terme devant les deux termes entre parenthèses va être multiplié au premier terme de la parenthèse, auquel on va ajouter le produit du terme trois racines de trois avec le deuxième terme dans la parenthèse.

Maintenant on peut aussi réécrire cette expression en incluant tous les signes multiplicatifs, et à l’intérieur de chacune de ces multiplications, nous pouvons inverser l’ordre des termes. Ce qui nous permet d’avoir les nombres entiers d’un côté de la multiplication et les racines carrées de l’autre côté de la multiplication. Donc ainsi, ici, trois fois deux fois racine de trois plus trois fois cinq fois racine de trois fois racine de trois.

Trois fois deux égale six. Donc nous avons ici six fois racine de trois, que nous pouvons donc écrire six racines de trois, plus trois fois cinq égale 15, et racine de trois fois racine de trois, c’est trois. Nous avons donc six racines de trois plus 15 fois trois, ce qui nous donne six racines de trois plus 45.

Regardons maintenant cet exemple : simplifier moins trois racines de deux fois, moins quatre moins deux racines de deux.

Il va nous falloir ici être très vigilant avec tous les signes moins. Pour nous aider, je mets des parenthèses autour des deux nombres négatifs pour bien se rappeler qu’ils sont négatifs, et j’entoure le signe de la soustraction, pour se rappeler là aussi qu’il nous faudra soustraire et non ajouter moins trois racines de deux multiplié par deux racines de deux.

La première multiplication moins trois racines de deux fois moins quatre nous donne, cette première multiplication moins trois racines de deux fois moins quatre, peut être réécrite comme suit. Et, je peux faire de même avec le deuxième terme ici.

Maintenant je peux multiplier moins trois par moins quatre ce qui va nous donner plus 12, qui est multiplié par racine de deux. Et ici nous avons moins trois fois deux qui est moins six, et racine de deux fois racine de deux c’est deux. Le produit moins six fois deux ici est moins douze. Nous avons donc ici 12 racines de deux moins moins 12 ce qui nous donne 12 racines deux plus 12.

Racine de deux ne peut pas être simplifiée, et donc notre résultat est 12 racines de deux plus 12.

Ici, nous devons simplifier racine de trois plus cinq fois racine de trois moins quatre.

Ici nous allons multiplier chaque terme de la première parenthèse par chaque terme de la deuxième parenthèse, comme suit, et faire attention aux signes négatifs ici.

La première multiplication nous donne racine de trois fois racine de trois, et ensuite nous faisons moins, à cause du signe moins ici, racine de trois fois quatre, c’est-à-dire moins quatre racines de trois. Puis cinq fois racine de trois, et enfin, moins cinq fois quatre, qui nous fait moins 20.

Racine de trois fois racine de trois nous donne trois, et moins quatre racines de trois plus cinq racines de trois nous donne une fois racine de trois, ce qui donc s’écrit simplement racine de trois. Et moins 20.

Trois moins 20 nous donne moins 17, auquel on ajoute plus racine de trois. Notre réponse est donc moins 17 plus racine de trois, ce qui bien sûr est exactement la même chose que racine de trois moins 17. Et bien souvent nous préférons cette façon d’écrire le résultat, tout simplement parce qu’il nous évite de commencer l’expression par un signe négatif, qui très souvent risque d’être oublié par la suite.

Maintenant, simplifier sept plus racine de cinq fois sept moins racine de cinq.

Nous allons voir ici deux méthodes différentes pour obtenir bien sûr le même résultat.

Dans la première, nous faisons comme précédemment ; les quatre multiplications. Ce qui nous donne sept fois sept égale 49, moins sept fois racine de cinq, plus racine de cinq fois sept, c’est-à-dire sept racines de cinq et moins racine de cinq fois racine de cinq, c’est-à-dire moins cinq.

Ici nous avons moins sept racines de cinq plus sept racine de cinq, donc la somme s’annule, va faire zéro, et nous avons donc 49 moins cinq, c’est-à-dire 44.

Cette méthode est complètement valide et nous donne le bon résultat. Toutefois, si on remarque ici que nous avons sept dans les deux parenthèses, et racine de cinq également, et si j’appelle mon sept 𝑎 et racine de cinq 𝑏, l’expression est donc 𝑎 plus 𝑏 fois 𝑎 moins 𝑏, et nous pouvons reconnaître ici l’identité remarquable qui nous dit que c’est bien 𝑎 au carré moins 𝑏 au carré.

En fait, dans la méthode précédente, nous venons de voir pourquoi nous avons cette identité remarquable, c’est parce que les thermes mixtes 𝑎 fois 𝑏 vont s’annuler, et ce bien sûr quelles que soient les valeurs de 𝑎 et 𝑏.

L’avantage de reconnaître que nous avons ici à faire à une identité remarquable, c’est que nous pouvons écrire directement le résultat sous la forme 𝑎 au carré moins 𝑏 au carré, c’est-à-dire ici sept au carré moins racine de cinq au carré.

Donc sept au carré nous donne 49 moins racine de cinq au carré, cinq ; ce qui nous donne bien sûr 44.

Si maintenant je compare les deux méthodes, je vois que dans la première nous avons tout simplement fait plus de calcul, d’où l’avantage d’être capable de reconnaître les identités remarquables, car ça va nous simplifier le travail.

Dans cet exemple, simplifier six racines de sept moins quatre racines de deux fois six racines de sept plus quatre racines de deux.

Nous allons pouvoir utiliser l’identité remarquable vue dans la question précédente, puisque nous avons six racines de sept dans les deux parenthèses, et quatre racines de deux également.

Donc nous avons bien une expression de la forme 𝑎 moins 𝑏 fois 𝑎 plus 𝑏, que nous savons donc être égale à 𝑎 au carré moins 𝑏 au carré.

Notre expression peut donc être réécrite comme six racines de sept le tout au carré, moins quatre racines de deux le tout au carré.

Six racines de sept au carré est donc six fois racine de sept fois six fois racine de sept. Et de même, quatre racines de deux au carré n’est rien d’autre que quatre fois racine de deux fois quatre fois racine de deux.

Comme précédemment, on réarrange les multiplications pour mettre d’un côté de la multiplication les nombres entiers et de l’autre les racines carrées, ce qui me donne six fois six fois racine de sept fois racine de sept, moins quatre fois quatre fois racine de deux fois racine de deux.

Donc six fois six me donne 36, et racine de sept fois racine de sept donne sept, donc on a 36 fois sept moins, quatre fois quatre égale 16, et racine de deux fois racine de deux égale deux ; donc moins 16 fois deux. Ce qui nous donne 36 fois sept, 252, et 16 fois deux, 32, donc moins 32. C’est-à-dire, 220.

Maintenant ici, simplifier racine de cinq moins racine de six, le tout au carré.

Attention ici à ne pas aller trop vite quand vous voyez ce genre d’expressions, et penser que c’est tout simplement racine de cinq au carré moins racine de six au carré.

Comme nous avons vu précédemment, la différence de deux carrés donc qui peut s’écrire sous la forme 𝑎 au carré moins 𝑏 au carré c’est 𝑎 moins 𝑏 fois 𝑎 plus 𝑏, donc ça n’est en aucun cas 𝑎 moins 𝑏 au carré.

Nous savons que 𝑎 moins 𝑏 au carré veut simplement dire que 𝑎 moins 𝑏 est multiplié par lui-même, c’est-à-dire par 𝑎 moins 𝑏. Si je développe en multipliant chaque terme de la première parenthèse par chaque terme de la seconde parenthèse, nous obtenons 𝑎 au carré moins 𝑎 𝑏 moins 𝑎 𝑏, plus 𝑏 au carré, c’est-à-dire 𝑎 au carré moins deux 𝑎 𝑏 plus 𝑏 au carré.

Nous avons redémontré ici une autre identité remarquable, 𝑎 moins 𝑏 au carré égale 𝑎 au carré moins deux 𝑎 𝑏 plus 𝑏 au carré. Et nous allons donc pouvoir écrire que racine de cinq moins racine de six au carré est racine de cinq au carré, moins deux fois racine de cinq fois racine de six, plus racine de six au carré.

Racine de cinq au carré est donc cinq par définition, et racine de six au carré est six.

Regardons maintenant le terme racine de cinq fois racine de six : nous avons vu tout à l’heure que racine de 𝑎 fois 𝑏 pouvait être écrit comme racine de 𝑎 fois racine de 𝑏. Nous allons utiliser cette propriété dans l’autre sens, c’est-à-dire en écrivant que racine de cinq fois racine de six égale racines de cinq fois six, c’est-à-dire 30. Donc ici nous en avons deux, donc ça fait moins deux racines de 30.

Arrêtons-nous un instant sur ce racine carrée de 30, et voyons si on peut la simplifier.

Si je regarde tous les facteurs du nombre 30, il n’y a pas d’autres carrés parfaits que le nombre un, et donc racine carrée de 30 ne peut pas être simplifiée. Notre résultat est donc cinq plus six, 11, moins deux racines de 30.

Regardons maintenant cet exemple : simplifier racine de sept fois trois racines de sept moins cinq, moins deux fois quatre moins cinq racines de sept.

Comme précédemment, nous allons ici utiliser la distributivité de la multiplication par rapport à l’addition et la soustraction, et donc nous allons multiplier le terme devant la parenthèse par chacun des termes de la parenthèse, et nous allons être particulièrement vigilant avec tous les signes moins présents ici.

La première multiplication ici est racine de sept fois trois racines de sept, c’est-à-dire racine de sept fois trois fois racine de sept.

Dans la deuxième ici, nous voyons que nous avons moins racine de sept fois cinq, c’est-à-dire moins cinq fois racine de sept.

Ensuite ici, nous avons moins deux fois quatre, c’est-à-dire moins huit. Et dans la dernière nous avons moins deux fois moins cinq racines de sept, c’est-à-dire plus 10 fois racine de sept.

Dans le premier terme ici, nous avons racine de sept fois racine de sept fois trois, donc racine de sept fois racine de sept donne sept, fois trois, 21.

Nous voyons ici que le 25 [21] que nous avons trouvé peut se simplifier avec moins huit, 21 moins huit cela nous donne 13, et nous avons ici moins cinq racines de sept et ici 10 fois racine de sept, ce qui nous fait plus cinq racines de sept. Racine de sept ne peut pas être simplifiée puisque le plus grand de ces facteurs qui est un carré parfait est un, et donc notre réponse est 13 plus cinq racines de sept.

Regardons maintenant notre dernier exemple qui a une tête un petit peu compliquée, mais on va essayer de débroussailler tout ça.

Donc, simplifier racine de 15 plus racine de 19 au carré fois racine de 15 moins racine de 19 le tout au carré.

Cette expression peut nous faire penser à l’identité remarquable vue précédemment, 𝑎 plus 𝑏 fois 𝑎 moins 𝑏. Sauf qu’ici il y a quand même une petite différence, c’est que nous avons ces carrés ici.

Voyons toutefois s’il n’y a pas moyen de réarranger cette expression pour qu’elle soit plus simple à traiter.

Donc si j’appelle ce terme racine de 15 𝑎 et racine de 19 𝑏, j’ai 𝑎 plus 𝑏 au carré fois 𝑎 moins 𝑏 au carré, ce qui n’est rien d’autre que 𝑎 plus 𝑏 fois 𝑎 plus 𝑏 fois 𝑎 moins 𝑏 fois 𝑎 moins 𝑏. Et en inversant les deux termes du milieu, j’obtiens 𝑎 plus 𝑏 fois 𝑎 moins 𝑏 fois 𝑎 plus 𝑏 fois 𝑎 moins 𝑏. Et là, je reconnais mon identité remarquable 𝑎 plus 𝑏 fois 𝑎 moins 𝑏 qui est donc 𝑎 au carré moins 𝑏 au carré.

J’ai donc 𝑎 au carré moins 𝑏 au carré fois 𝑎 au carré moins 𝑏 au carré.

Maintenant 𝑎 ici dans notre exemple égale racine carrée de 15, donc 𝑎 au carré égale 15. Et 𝑏 égale racine carrée de 19, donc 𝑏 au carré égale 19.

En remplacement ces valeurs dans l’expression que j’ai trouvée, j’ai donc 15 moins 19 pour la première parenthèse, et la même chose 15 moins 19 pour la deuxième. C’est-à-dire moins quatre fois moins quatre égale 16.

Donc finalement, notre horrible expression de départ se simplifie en un beau nombre entier, 16, et ce grâce au fait que nous n’avons plus réarranger l’expression et reconnaître notre identité remarquable, ce qui nous a permis d’éviter bien des calculs.

Et voilà, donc maintenant, à vous de jouer.