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Vidéo de la leçon : Milieu dans un repère Mathématiques

Dans cette vidéo, nous allons apprendre comment déterminer les coordonnées du milieu de deux points ou celles d'une extrémité dans un repère.

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Transcription de vidéo

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à trouver les coordonnées du milieu de deux points ou celles de l’extrémité d’un segment dans un repère. Avant de regarder un repère, regardons un milieu sur une droite numérique.

Si nous commençons par une droite numérique et que nous avons des points en deux et huit, où est le milieu de deux et huit ? Vous pourriez dire : « Eh bien, ça va être à mi-chemin entre deux et huit». Quelqu’un d’autre pourrait dire : « C’est la moyenne de deux et huit ». La moyenne de deux et huit se situe à mi-chemin. Pour trouver la moyenne de deux et huit, nous additionnons deux et huit, puis nous divisons par deux, ce qui est égal à 10 divisé par deux, ce qui fait cinq. Et cela signifie que le milieu de deux et huit ou la moyenne de deux et huit est cinq.

Pour trouver le milieu dans un repère, nous utilisons une démarche vraiment similaire. Considérons ce segment dans un repère. Si nous désignons le point bleu par la lettre 𝐴, 𝐴 est situé en deux, deux. Et si l’autre l’extrémité est notée 𝐵, 𝐵 est situé en huit, six. Et 𝐶 est le milieu. Cela signifie que la distance de 𝐴 à 𝐶 est égale à la distance de 𝐶 à 𝐵. Cela signifie également que 𝐶 est à mi-chemin entre 𝐴 et 𝐵 dans le sens vertical, et 𝐶 est à mi-chemin entre 𝐴 et 𝐵 dans le sens horizontal. Et voici la notation mathématique de cela.

Pour trouver la coordonnée 𝑥 du milieu, nous prenons les coordonnées 𝑥 des deux extrémités et nous calculons la moyenne. N’oubliez pas que chaque extrémité est située au bout du segment. Ensuite, la coordonnée 𝑦 du milieu est déterminée en prenant les coordonnées 𝑦 des deux extrémités et en calculant leur moyenne. Dans ce cas, nous pouvons poser 𝐴 comme étant 𝑥 un, 𝑦 un et 𝐵 comme étant 𝑥 deux, 𝑦 deux. Si nous voulons placer les coordonnées du point 𝐶, nous introduisons les valeurs que nous connaissons à partir des extrémités. Donc 𝑥 un vaut deux. 𝑥 deux vaut huit. 𝑦 un vaut deux. 𝑦 deux vaut six.

Lorsque nous les additionnons, nous obtenons 10 sur deux, huit sur deux, ce qui se simplifie encore en cinq, quatre. Le milieu est alors situé au point cinq, quatre. Cinq est à mi-chemin entre deux et huit, et quatre est à mi-chemin entre deux et six. En utilisant cette formule, nous pouvons trouver le milieu si on nous donne deux paires de coordonnées. Ou nous pouvons déterminer les coordonnées d’une extrémité si on nous donne une extrémité et le milieu.

Regardons quelques exemples.

Sur le graphique, quel point est à mi-chemin entre un, huit et cinq, deux ?

Nous avons le point un, huit - nous pouvons l’appeler 𝐴 — et le point cinq, deux — nous pouvons l’appeler 𝐵. Et nous voulons savoir quel point est à mi-chemin entre les deux points. Le point à mi-chemin entre ces deux points est appelé milieu. Pour trouver le milieu, nous calculons la moyenne des coordonnées 𝑥 des deux extrémités. Puis, nous calculons la moyenne des coordonnées 𝑦 des deux extrémités. Donc, nous allons poser le point 𝐴 comme étant 𝑥 un, 𝑦 un et le point 𝐵 comme étant 𝑥 deux, 𝑦 deux. Ensuite, pour trouver le milieu, nous additionnons un et cinq, puis nous divisons par deux. Ensuite, nous additionnons huit et deux, et nous divisons par deux. Cela nous donne six sur deux et 10 sur deux, que nous réduisons à trois, cinq.

Sur le graphique, les coordonnées trois, cinq sont ici. Et si nous regardons ce point, nous voyons que, à partir de 𝐵, il est situé à trois unités vers le haut et à deux unités vers la gauche. Puis, si nous voulons aller du milieu au point 𝐴, encore une fois, il faut se déplacer de trois unités vers le haut et de deux unités vers la gauche. Cela confirme que la distance de 𝐴 au milieu est la même que la distance du milieu à 𝐵. À mi-chemin entre un, huit et cinq, deux est le point de coordonnées trois, cinq.

Voici un autre exemple. Cette fois, nous connaissons l’extrémité. Mais il nous manque une partie des coordonnées des extrémités.

Considérez les points 𝐴 : 𝑥, sept, 𝐵 : moins quatre, 𝑦 et 𝐶 : deux, cinq. Étant donné que 𝐶 est le milieu du segment 𝐴𝐵, trouvez les valeurs de 𝑥 et 𝑦.

D’abord, énumérons les informations données. Nous avons le segment 𝐴𝐵 et 𝐶 est le milieu. Le point 𝐴 est situé en 𝑥, sept. Le point 𝐵 est situé en moins quatre, 𝑦. Et le point 𝐶 est situé en deux, cinq. À ce stade, vous pourriez vous dire : « Ne faudrait-il pas essayer de représenter graphiquement ces valeurs ?» Mais comme il nous manque ces valeurs de 𝑥 et 𝑦, il n’est pas facile de représenter graphiquement cela. Alors, considérons ce que nous savons sur le milieu.

Les coordonnées du milieu peuvent être déterminées en calculant la moyenne des coordonnées 𝑥 des extrémités et des coordonnées 𝑦 des extrémités. Et si le milieu est deux, cinq, alors 𝑥 un plus 𝑥 deux divisé par deux doit être égal à deux. Et 𝑦 un plus 𝑦 deux divisé par deux doit être égal à cinq. Donc, nous avons établi deux équations distinctes, une qui dit 𝑥 un plus 𝑥 deux sur deux égale deux et une qui dit cinq égale 𝑦 un plus 𝑦 deux sur deux. Nous allons poser le point 𝐴 comme étant 𝑥 un, 𝑦 un et le point 𝐵 comme étant 𝑥 deux, 𝑦 deux, puis nous introduisons les valeurs que nous connaissons.

Deux est alors égal à 𝑥 plus moins quatre divisé par deux, et cinq est égal à sept plus 𝑦 divisé par deux. Et maintenant, nous avons juste besoin de résoudre l’équation pour déterminer chaque variable. À gauche, nous multiplions les deux membres de l’équation par deux, ce qui nous donnera quatre égale 𝑥 plus moins quatre, que nous pouvons réécrire comme quatre égale 𝑥 moins quatre. Ajoutez ensuite quatre des deux membres. Et nous voyons que huit est égal à 𝑥 ou, plus communément, 𝑥 est égal à huit. Nous suivons la même procédure pour déterminer 𝑦. Multipliez par deux. Soustrayez sept aux deux membres. Trois est égal à 𝑦. Donc, 𝑦 est égal à trois. Puisque 𝐴 est égal à 𝑥 sept et que 𝑥 est égal à huit, le point 𝐴 est situé en huit, sept. Et puisque 𝐵 est situé en moins quatre, 𝑦 et que 𝑦 est égal à trois, 𝐵 est situé en moins quatre, trois.

Voici un autre exemple, où nous connaissons déjà le milieu et nous devons trouver les coordonnées des extrémités.

Trouvez le point 𝐴 sur l’axe des 𝑥 et le point 𝐵 sur l’axe des 𝑦 de telle sorte que trois sur deux, moins cinq sur deux est le milieu du segment 𝐴𝐵.

D’abord, énumérons les informations données. 𝐴 est situé le long de l’axe des 𝑥. 𝐵 est situé le long de l’axe des 𝑦. Et nous avons le milieu trois demis, moins cinq demis. À ce stade, nous devrions réfléchir à ce que nous savons sur les axes des 𝑥 et des 𝑦. Les points le long de l’axe des 𝑥 ont une coordonnée 𝑦 égale à zéro. Et cela signifie que si le point 𝐴 est situé le long de l’axe des 𝑥, nous ne savons pas où il se trouve le long de l’axe des 𝑥. Mais nous savons qu’il est situé en zéro le long de l’axe des 𝑦. Nous pouvons écrire les coordonnées du point 𝐴 comme étant 𝑎, zéro. Et de la même manière, les points le long de l’axe des 𝑦 ont zéro comme coordonnée 𝑥. Cela signifie que nous pouvons écrire le point 𝐵 comme étant situé en zéro, 𝑏. Enfin, nous nous souvenons que nous pouvons trouver le milieu en calculant la moyenne des coordonnées 𝑥 des extrémités et des coordonnées 𝑦 des extrémités.

À l’aide de ces informations, nous pouvons établir deux équations pour déterminer nos valeurs manquantes. Nous allons poser le point 𝐴 comme étant 𝑥 un, 𝑦 un et le point 𝐵 comme étant 𝑥 deux, 𝑦 deux. Nous introduisons ces valeurs dans notre formule du milieu. Cela signifie que trois demis égale 𝑎 plus zéro sur deux et que moins cinq demis égale zéro plus 𝑏 sur deux. 𝑎 plus zéro est égal à 𝑎. La valeur de trois demis doit être égale à 𝑎 sur deux. Et de la même manière, moins cinq sur deux est égal à 𝑏 sur deux, ce qui signifie que 𝑎 est égal à trois et 𝑏 est égal à moins cinq. Nous prenons ces informations et les réintroduisons dans nos points. Nous obtenons alors le point trois, zéro et le point zéro, moins cinq. Ces deux points ont le milieu donné.

Examinons un cas où nous pouvons utiliser nos connaissances sur les milieux pour résoudre un problème.

Un jardin rectangulaire est à côté d’une maison le long de la route. Dans le jardin se trouve un oranger à sept mètres de la maison et à trois mètres de la route. Il y a aussi un pommier, à cinq mètres de la maison et à neuf mètres de la route. Une fontaine est placée à mi-chemin entre les arbres. À quelle distance se trouve la fontaine de la maison et de la route ?

Nous avons un jardin à côté d’une maison le long d’une route. Dans le jardin, il y a deux arbres, un oranger qui est situé à sept mètres de la maison et à trois mètres de la route. Puis, il y a un pommier, à cinq mètres de la maison et à neuf mètres de la route. Une fontaine est placée à mi-chemin entre eux. Comment savoir à quelle distance se trouve la fontaine de la maison et de la route ?

Nous pourrions écrire ces distances sous forme de coordonnées, où la coordonnée 𝑥 est la distance de la maison et la coordonnée 𝑦 est la distance de la route. L’oranger se situe alors en sept, trois. Le pommier est situé en cinq, neuf. Et la fontaine est le milieu. Et nous savons que pour trouver le milieu, nous additionnons les coordonnées 𝑥 des extrémités et nous divisons par deux, puis nous additionnons les coordonnées 𝑦 des extrémités et nous divisons par deux. Ce qui signifie que la fontaine est située à sept plus cinq divisé par deux, et neuf plus trois divisés par deux, soit 12 sur deux, 12 sur deux ou six, six. Nous savons que notre coordonnée 𝑥 est la distance à partir de la maison et que la coordonnée 𝑦 est la distance à partir de la route. Par conséquent, la fontaine est située à six mètres de la maison et à six mètres de la route.

Dans notre dernier exemple, nous allons examiner un milieu qui est le milieu de deux segments différents en même temps.

Soit 𝐴 le point de coordonnées moins sept, moins quatre, 𝐵 six, moins neuf, et 𝐷 huit, moins deux. Si 𝐶 est le milieu du segment 𝐴𝐵 et du segment 𝐷𝐸, trouvez le point 𝐸.

Commençons par représenter graphiquement ce que nous savons. Nous avons un segment 𝐴𝐵 ayant pour milieu 𝐶. Et 𝐶 est également le milieu du segment 𝐷𝐸. On nous donne les coordonnées de 𝐴, 𝐵 et 𝐷. Notre objectif final est de trouver les coordonnées du point 𝐸. Mais avant de pouvoir trouver 𝐸, nous devons connaître 𝐶. Une fois que nous déterminons 𝐶, nous pouvons trouver 𝐸. Et pour faire ces deux choses, nous devons nous rappeler que la formule du milieu ressemble à ceci.

La coordonnée 𝑥 du milieu est déterminée en prenant les coordonnées 𝑥 des extrémités et en les divisant par deux. Et la coordonnée 𝑦 du milieu est déterminée en calculant la moyenne des coordonnées 𝑦 des deux extrémités. Puisque 𝐶 est le milieu de 𝐴 et 𝐵, nous allons poser le point 𝐴 comme étant 𝑥 un, 𝑦 un et le point 𝐵 comme étant 𝑥 deux, 𝑦 deux. Le milieu 𝐶 sera situé à moins sept plus six sur deux, moins quatre plus moins neuf sur deux. Moins sept plus six sur deux vaut moins un demi. Et moins quatre plus moins neuf est égal à moins 13. Ainsi, la coordonnée 𝑦 est égale à moins 13 sur deux. Maintenant, nous savons où est situé 𝐶. Et nous sommes prêts à rechercher 𝐸.

Si 𝐶 est également le milieu de 𝐷𝐸, alors les coordonnées de 𝐶 seront égales à la moyenne des coordonnées 𝑥 des points 𝐷 et 𝐸 et à la moyenne des coordonnées 𝑦 des points 𝐷 et 𝐸. On nous donne les coordonnées de 𝐷. C’est huit, moins deux. Et donc, nous introduisons ces valeurs dans notre formule. À partir de là, nous allons établir deux équations distinctes. Nous allons avoir moins un demi égale huit, plus la coordonnée 𝑥 de 𝐸 sur deux. Et moins 13 sur deux égale moins deux plus la coordonnée 𝑦 de 𝐸 sur deux. Nous nous donnerons un peu plus de place.

Étant donné que tous les dénominateurs valent deux, les numérateurs sont donc égaux. Moins un est égal à huit plus la coordonnée 𝑥 de 𝐸. Et pour déterminer cette valeur manquante, nous soustrayons huit aux deux membres de l’équation. Nous voyons que la coordonnée 𝑥 du point 𝐸 est moins neuf. Pour déterminer la coordonnée 𝑦 du point 𝐸, nous ajoutons deux aux deux membres. La coordonnée 𝑦 de 𝐸 est moins 11. Sous forme de coordonnées, le point 𝐸 est situé en moins neuf, moins 11.

Chacun de ces exemples nous a montré que lorsque nous avons les extrémités 𝑥 un, 𝑦 un et 𝑥 deux, 𝑦 deux, le milieu est déterminé en additionnant 𝑥 un et 𝑥 deux et en divisant par deux, puis 𝑦 un plus 𝑦 deux divisé par deux. Nous pouvons également utiliser cette formule pour trouver une extrémité si nous connaissons une extrémité et le milieu. En utilisant cette formule, vous êtes prêt à essayer vous-même de résoudre quelques problèmes.

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