Vidéo : Milieu dans le plan cartésien

Dans cette vidéo, nous apprendrons à trouver les coordonnées d’un point milieu entre deux points ou celles d’un point final dans le plan cartésien.

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Transcription de vidéo

Dans cette vidéo, nous apprendrons à trouver les coordonnées d’un point milieu entre deux points ou celles d’un point final dans le plan cartésien. Avant de regarder un plan cartésien, regardons un point milieu sur une droite numérique.

Si nous commençons par une droite numérique et que nous avons des points en deux et huit, où est le milieu entre deux et huit ? Vous pourriez dire : « Eh bien, ça va être à mi-chemin entre deux et huit. » Quelqu’un d’autre pourrait dire : « C’est la moyenne de deux et huit ». La moyenne de deux et huit se situe à mi-chemin. Pour trouver la moyenne de deux et huit, nous ajoutons deux plus huit, puis divisons par deux, ce qui est égal à 10 divisé par deux, ce qui fait cinq. Et cela signifie à mi-chemin entre deux et huit, la moyenne de deux et huit est de cinq.

Pour trouver le milieu sur un plan cartésien, nous utilisons un processus vraiment similaire. Considérons ce segment dans une grille de coordonnées. Si nous étiquetons le point bleu 𝐴, 𝐴 est situé en deux, deux. Et si nous faisons l’autre point final 𝐵, 𝐵 est situé en huit, six. Et 𝐶 est le point milieu. Cela signifie que la distance de 𝐴 à 𝐶 est égale à la distance de 𝐶 à 𝐵. Cela signifie également que 𝐶 est à mi-chemin entre 𝐴 et 𝐵 dans le sens vertical et 𝐶 est à mi-chemin entre 𝐴 et 𝐵 dans le sens horizontal. Et nous écrivons cela mathématiquement comme ça.

Pour trouver la coordonnée 𝑥 du point milieu, nous prenons les coordonnées 𝑥 des deux extrémités et nous effectuons la moyenne. N’oubliez pas que les points d’extrémité sont situés à chaque extrémité du segment. Ensuite, la coordonnée 𝑦 du point milieu est trouvée en prenant les coordonnées 𝑦 des deux points d’extrémité et en faisant la moyenne de celles-ci. Dans ce cas, nous pouvons poser 𝐴 comme étant 𝑥 un, 𝑦 un et 𝐵 étant 𝑥 deux, 𝑦 deux. Si nous voulons localiser les coordonnées du point 𝐶, nous introduisons les valeurs que nous connaissons à partir des points d’extrémité. 𝑥 un vaut deux. 𝑥 deux vaut huit. 𝑦 un vaut deux. 𝑦 deux vaut six.

Lorsque nous les additionnons ensemble, nous obtenons 10 sur deux, huit sur deux, ce qui se simplifie encore en cinq, quatre. Le point milieu est alors situé au point cinq, quatre. Cinq est à mi-chemin entre deux et huit et quatre est à mi-chemin entre deux et six. En utilisant cette formule, nous pouvons trouver le milieu si on nous donne deux paires de coordonnées. Ou nous pouvons trouver les coordonnées d’un point d’extrémité si on nous donne un point d’extrémité et le point milieu.

Regardons quelques exemples.

Sur le graphique, quel point est à mi-chemin entre un, huit et cinq, deux ?

Nous avons le point un, huit - nous pourrions l’appeler 𝐴 — et le point cinq, deux — nous pouvons l’appeler 𝐵. Et nous voulons savoir quel point est à mi-chemin entre les deux points. Le point à mi-chemin entre ces deux points est appelé point milieu. Et pour trouver le point milieu, nous faisons la moyenne des coordonnées 𝑥 des deux points d’extrémité. Et puis, nous faisons la moyenne des coordonnées 𝑦 des deux paramètres. Donc, nous allons laisser le point 𝐴 être 𝑥 un, 𝑦 un et le point 𝐵 être 𝑥 deux, 𝑦 deux. Ensuite, pour trouver le milieu, nous ajoutons un plus cinq et divisons par deux. Et puis, nous ajoutons huit plus deux et divisons par deux. Cela nous donne six sur deux et 10 sur deux, que nous réduisons à trois, cinq.

Sur le graphique, les coordonnées trois, cinq sont ici. Et si nous regardons ce point, nous voyons à partir de 𝐵 qui est en hausse de trois et gauche deux. Et puis, si nous voulons aller du milieu au point 𝐴, encore une fois, nous avons trois et avons retiré deux. Cela confirme que la distance de 𝐴 au point milieu est la même que la distance du point milieu à 𝐵. À mi-chemin entre un, huit et cinq, deux est le point trois, cinq.

Voici un autre exemple. Cette fois, nous connaissons le point final. Mais il nous manque une partie des coordonnées des points d’extrémité.

Considérez les points 𝐴 : 𝑥, sept ; 𝐵 : moins quatre, 𝑦 ; et 𝐶 : deux, cinq. Étant donné que 𝐶 est le milieu du segment 𝐴𝐵, trouvez les valeurs de 𝑥 et 𝑦.

D’abord, énumérons ce que nous savons. Nous avons le segment 𝐴𝐵 et 𝐶 est le point milieu. Le point 𝐴 est situé en 𝑥, sept. Le point 𝐵 est situé en moins quatre, 𝑦. Et le point 𝐶 est situé en deux, cinq. À ce stade, vous pourriez penser : « Ne devrions-nous pas essayer de représenter graphiquement ces valeurs ? » Mais comme il nous manque cette valeur 𝑥 et 𝑦, il n’est pas facile de représenter graphiquement cela. Alors, considérons ce que nous savons sur le point milieu.

Les coordonnées du point milieu peuvent être trouvées en faisant la moyenne des coordonnées 𝑥 des points d’extrémité et des coordonnées 𝑦 des points d’extrémité. Et si le point milieu est deux, cinq, alors 𝑥 un plus 𝑥 deux divisé par deux doit être égal à deux. Et 𝑦 un plus 𝑦 deux divisé par deux doit être égal à cinq. Donc, nous avons mis en place deux équations distinctes, une qui dit 𝑥 un plus 𝑥 deux sur deux égale deux et une qui dit cinq égale 𝑦 un plus 𝑦 deux sur deux. Nous allons laisser 𝐴 être 𝑥 un, 𝑦 un et 𝐵 être 𝑥 deux, 𝑦 deux, puis nous plaçons ce que nous savons.

Deux est alors égal à 𝑥 plus moins quatre divisé par deux et cinq est égal à sept plus 𝑦 divisé par deux. Et maintenant, nous avons juste besoin de résoudre pour chaque variable. Sur la gauche, nous multiplions les deux côtés de l’équation par deux, ce qui nous donnera quatre égal à 𝑥 plus moins quatre, que nous pouvons réécrire pour dire quatre égal à 𝑥 moins quatre. Ajoutez ensuite quatre des deux côtés. Et nous voyons que huit est égal à 𝑥 ou, plus communément, 𝑥 est égal à huit. Nous suivons la même procédure pour résoudre en 𝑦. Multipliez par deux. Soustrayez sept des deux côtés. Trois est égal à 𝑦. Donc, 𝑦 est égal à trois. Puisque 𝐴 est égal à 𝑥 sept et 𝑥 est égal à huit, le point 𝐴 est situé en huit, sept. Et puisque 𝐵 était situé en moins quatre, 𝑦 et 𝑦 est égal à trois, 𝐵 est situé en quatre, moins trois.

Voici un autre exemple, où nous connaissons déjà le point milieu et nous devons trouver les coordonnées des points aux extrémités.

Trouvez le point 𝐴 sur l’axe des 𝑥 et le point 𝐵 sur l’axe des 𝑦 de telle sorte que trois sur deux, moins cinq sur deux est le milieu du segment 𝐴𝐵.

D’abord, énumérons ce que nous savons. 𝐴 est situé le long de l’axe des 𝑥. 𝐵 est situé le long de l’axe des 𝑦. Et nous avons le point milieu trois demis, moins cinq demis. À ce stade, nous devrions réfléchir à ce que nous savons au sujet des axes 𝑥 et 𝑦. Les points le long de l’axe des 𝑥 ont une coordonnée 𝑦 de zéro. Et cela signifie que si le point 𝐴 est situé le long de l’axe des 𝑥, nous ne savons pas où il se trouve le long de l’axe des 𝑥. Mais nous savons que c’est zéro le long de l’axe des 𝑦. Nous pouvons écrire les coordonnées du point 𝐴 comme étant 𝑎, zéro. Et de la même manière, les points le long de l’axe des 𝑦 ont zéro comme coordonnée 𝑥. Cela signifie que nous pouvons écrire le point 𝐵 comme étant situé en zéro, 𝑏. Enfin, nous nous souvenons que nous pouvons trouver le point milieu en faisant la moyenne des coordonnées 𝑥 des points d’extrémité et des coordonnées 𝑦 des points d’extrémité.

À l’aide de ces informations, nous pouvons configurer deux équations pour résoudre nos valeurs manquantes. Nous allons laisser le point 𝐴 être 𝑥 un, 𝑦 un et le point 𝐵 être 𝑥 deux, 𝑦 deux. Nous intégrons ces informations dans notre formule du milieu. Cela signifie que trois demis est égal à 𝑎 plus zéro sur deux et que moins cinq demis égale zéro plus 𝑏 sur deux. 𝑎 plus zéro est égal à 𝑎. Les trois demis doivent être égales à 𝑎 sur deux. Et de la même manière, moins cinq sur deux est égal à 𝑏 sur deux, ce qui signifie que 𝑎 est égal à trois et 𝑏 est égal à moins cinq. Nous prenons ces informations et les replaçons dans nos points. Et nous obtenons le point trois, zéro et le point zéro, moins cinq. Ces deux points ont le point milieu donné.

Examinons un cas où nous pouvons utiliser ce que nous savons des points milieux pour résoudre un problème.

Un jardin rectangulaire est à côté d’une maison le long de la route. Dans le jardin se trouve un oranger à sept mètres de la maison et à trois mètres de la route. Il y a aussi un pommier, à cinq mètres de la maison et à neuf mètres de la route. Une fontaine est placée à mi-chemin entre les arbres. À quelle distance se trouve la fontaine de la maison et de la route ?

Nous avons un jardin à côté d’une maison le long d’une route. Dans le jardin, il y a deux arbres, un oranger qui est situé à sept mètres de la maison et à trois mètres de la route. Et puis, il y a un pommier, à cinq mètres de la maison et à neuf mètres de la route. Une fontaine est placée à mi-chemin entre eux. Comment savoir à quelle distance se trouve la fontaine de la maison et de la route ?

Nous pourrions écrire ces distances sous forme de coordonnées, où la coordonnée 𝑥 est la distance de la maison et la coordonnée 𝑦 est la distance de la route. L’oranger se situe alors en sept, trois. Le pommier est situé en cinq, neuf. Et la fontaine est le milieu. Et nous savons pour trouver le point milieu, nous ajoutons les coordonnées 𝑥 des points d’extrémité et divisons par deux, puis nous ajoutons les coordonnées 𝑦 des points d’extrémité et divisons par deux. Ce qui signifie que la fontaine est située à sept plus cinq divisés par deux et neuf plus trois divisés par deux, soit 12 sur deux, 12 sur deux ou six, six. Nous savons que notre coordonnée 𝑥 est la distance entre la maison et que la coordonnée 𝑦 est la distance de la route. Par conséquent, la fontaine est située à six mètres de la maison et à six mètres de la route.

Dans notre dernier exemple, nous allons examiner un point milieu qui est le point milieu de deux segments différents en même temps.

Supposons que 𝐴 soit moins sept, moins quatre ; 𝐵 six, moins neuf ; et que 𝐷 soit huit, moins deux. Si 𝐶 est le milieu du segment 𝐴𝐵 et du segment 𝐷𝐸, trouvez le point 𝐸.

Esquissons d’abord ce que nous savons. Nous avons un segment 𝐴𝐵 avec le milieu 𝐶. Et 𝐶 est également le milieu du segment 𝐷𝐸. On nous donne les coordonnées de 𝐴, 𝐵 et 𝐷. Notre objectif final est de trouver les coordonnées du point 𝐸. Mais avant de pouvoir trouver 𝐸, nous devons connaître 𝐶. Une fois que nous trouvons 𝐶, nous pouvons trouver 𝐸. Et pour faire ces deux choses, nous devons nous rappeler que la formule du milieu ressemble à ceci.

La coordonnée 𝑥 du point milieu est trouvée en prenant les coordonnées 𝑥 des points d’extrémité et en les divisant par deux. Et la coordonnée 𝑦 du point milieu est trouvée en faisant la moyenne des coordonnées 𝑦 des deux extrémités. Puisque 𝐶 est le milieu de 𝐴 et 𝐵, nous laisserons 𝐴 être 𝑥 un, 𝑦 un et 𝐵 être 𝑥 deux, 𝑦 deux. Le point milieu 𝐶 sera situé à moins sept plus six sur deux, moins quatre plus moins neuf sur deux. Moins sept plus six sur deux vaut moins un demi. Et moins quatre plus moins neuf est égal à moins 13. Ainsi, la coordonnée 𝑦 est égale à moins 13 sur deux. Maintenant, nous savons où est situé 𝐶. Et nous sommes prêts à penser à 𝐸.

Si 𝐶 est également le milieu de 𝐷𝐸, alors les coordonnées de 𝐶 seront égales à la coordonnée 𝑥 de 𝐷 et 𝐸 en moyenne et la coordonnée 𝑦 de 𝐷 et 𝐸 en moyenne. On nous donne les coordonnées de 𝐷. C’est huit, moins deux. Et donc, nous plaçons cela. À partir de là, nous allons faire deux équations distinctes. Nous allons mettre moins un demi égal à huit, plus la coordonnée 𝑥 de 𝐸 sur deux. Et moins 13 sur deux est égal à moins deux plus la coordonnée 𝑦 de 𝐸 sur deux. Nous nous donnerons un peu plus de place.

Étant donné que tous les dénominateurs valent deux, les numérateurs sont donc égaux. Moins un est égal à huit plus la coordonnée 𝑥 de 𝐸. Et pour résoudre cette valeur manquante, nous soustrayons huit des deux côtés. Et nous voyons que la coordonnée 𝑥 du point 𝐸 est moins neuf. Pour résoudre la coordonnée 𝑦 du point 𝐸, nous ajoutons deux des deux côtés. La coordonnée 𝑦 de 𝐸 est moins 11. Sous forme de coordonnées, le point 𝐸 est situé en moins neuf, moins 11.

Chacun de ces exemples nous a montré que lorsque vous avez les points d’extrémité 𝑥 un, 𝑦 un ; 𝑥 deux, 𝑦 deux, le point milieu se détermine en ajoutant 𝑥 un plus 𝑥 deux et en divisant par deux, puis 𝑦 un plus 𝑦 deux divisé par deux. Nous pouvons également utiliser cette formule pour trouver un point d’extrémité si nous connaissons un point d’extrémité et le point milieu. En utilisant cette formule, vous êtes prêt à en essayer vous-même.

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