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Vidéo de question : Calcul du couple subi par une boucle transportant un courant dans un champ magnétique uniforme Physique

Le schéma illustre une boucle rectangulaire de fil porteur de courant électrique entre les pôles d’un aimant qui produit un champ d’une amplitude de 250 mT. Les côtés les plus longs de la boucle sont initialement parallèles au champ magnétique, et les côtés les plus courts de la boucle sont initialement perpendiculaires au champ magnétique. La boucle a un moment dipolaire magnétique de 500 μN⋅m/T. La boucle est ensuite tournée de 90 ° de sorte que tous ses côtés soient perpendiculaires au champ magnétique. Comment change le couple sur la boucle en raison de sa rotation? Réponds au micronewton-mètre près.

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Transcription de vidéo

Le schéma illustre une boucle rectangulaire de fil porteur de courant entre les pôles d’un aimant qui produit un champ d’une magnitude de 250 millitesla. Les côtés les plus longs de la boucle sont initialement parallèles au champ magnétique, et les côtés les plus courts de la boucle sont initialement perpendiculaires au champ magnétique. La boucle a un moment dipolaire magnétique de 500 micronewton-mètres par tesla. La boucle est ensuite tournée de 90 degrés de sorte que tous ses côtés soient perpendiculaires au champ magnétique. Comment change le couple sur la boucle en raison de sa rotation? Réponds au micronewton-mètre près.

Dans ce cas, un courant électrique circule dans une boucle rectangulaire qui est initialement orientée de cette façon entre les pôles de l’aimant. Dans cette orientation, le fil subit un couple donné par cette équation. Le fil, cependant, ne reste pas immobile mais tourne de 90 degrés jusqu’à ce qu’il atteigne cette orientation verticale. Dans cette nouvelle orientation, le fil subit également un certain couple. On cherche la variation de couple subie par le fil en raison de cette rotation de 90 degrés. Si on appelle le couple agissant sur le fil dans sa position initiale 𝜏 un et le couple sur le fil après avoir tourné de 90 degrés 𝜏 deux, on cherche alors ce que vaut la différence entre ces valeurs.

En revenant à l’équation générale du couple sur un fil porteur de courant dans un champ magnétique, on note que les valeurs du côté droit sont le champ magnétique 𝐵, le courant 𝐼, la section transversale de la boucle 𝐴, le nombre de tours de la boucle 𝑁. Et tout cela est multiplié par le sinus d’un angle appelé 𝜃. Voici comment est défini 𝜃. Si on a une boucle de transport de courant, dans ce cas, un rectangle, et que l’on trace un vecteur qui est normal ou perpendiculaire à l’aire de cette boucle, alors l’angle entre ce vecteur et le champ magnétique externe est 𝜃.

Sachant cela, on peut exprimer cette amplitude en fonction de cette équation pour le couple, en écrivant une expression pour 𝜏 un. Celle-ci sera égale à l’intensité du champ magnétique multipliée par le courant 𝐼 fois l’aire 𝐴 de la boucle multipliée par le nombre de tours dans la boucle. Mais, d’après le schéma, on observe que dans ce cas, 𝑁 est égal à un. Tout cela est multiplié par le sinus d’un angle que l’on notera pour le moment comme 𝜃 un. Donc, 𝜏 un est égal à 𝐵 fois 𝐼 fois 𝐴 fois le sin de 𝜃 un. Et on note que l’on n’a pas mis d’indices sur ces variables ici car elles sont constantes, quelle que soit l’orientation de la bobine. Cela signifie que lorsque l’on écrit une expression pour 𝜏 deux, on utilise les mêmes valeurs pour 𝐵 et 𝐼 et 𝐴. La seule chose qui est différente est que cette fois-là on a un angle 𝜃 deux.

Ainsi, la norme de 𝜏 un moins 𝜏 deux est égale à la norme de 𝐵𝐼𝐴 sin 𝜃 un moins 𝐵𝐼𝐴 sin 𝜃 deux. On peut factoriser 𝐵 fois 𝐼 fois 𝐴 dans cette expression. À présent, essayons de trouver ce que valent ces angles 𝜃 un et 𝜃 deux. 𝜃 un se réfère à un angle lorsque la bobine est dans cette orientation horizontale initiale. Il est égal à l’angle entre un vecteur perpendiculaire au plan de cette boucle et le champ magnétique créé par cet aimant permanent, qui va du pôle Nord au pôle Sud. On remarque que ces deux vecteurs se croisent à 90 degrés. Par conséquent, c’est la valeur de 𝜃 un.

Pour trouver 𝜃 indice deux, regardons maintenant le cas où la bobine est orientée verticalement. Le champ magnétique de la bobine existe en des points dans la même direction que précédemment. Mais cette fois-là, un vecteur normal, ou un vecteur perpendiculaire, au plan de la bobine est orienté de façon antiparallèle à 𝐵. 𝜃 deux est alors égal à 180 degrés. Si on insère les valeurs de 𝜃 un et 𝜃 deux dans l’expression, on se retrouve maintenant avec un terme où on a le sinus de 90 degrés moins le sinus de 180 degrés. Le sinus de 90 degrés est égal à un, et le sinus de 180 degrés est égal à zéro.

On note que si au lieu de 180 degrés, on avait ici zéro degré, c’est-à-dire que si le vecteur d’aire de la boucle était orienté vers la gauche plutôt que vers la droite, on obtiendrait la même réponse. Le sinus de zéro degré est égal au sinus de 180 degrés, c’est-à-dire zéro. La variation de 𝜏 est alors égale à la valeur de 𝐵 fois 𝐼 fois 𝐴 fois la quantité un moins zéro ou simplement 𝐵 fois 𝐼 fois 𝐴, où tous ces nombres sont des valeurs positives.

Pour continuer, rappelons les informations qui nous sont données dans l’énoncé du problème. On nous dit que l’intensité du champ magnétique 𝐵 est de 250 millitesla et que quelque chose appelé le moment dipôlaire magnétique de la boucle, représenté par la lettre grecque 𝜇, vaut 500 micronewton-mètres par tesla. En général, le moment dipolaire magnétique d’une boucle de transport de courant est égal au courant porté par la boucle multiplié par l’aire de sa section transversale. Par conséquent, notre expression 𝐵 fois 𝐼 fois 𝐴 peut être écrite de manière équivalente comme 𝐵 fois 𝜇, le moment dipôlaire magnétique.

On remplace avec les valeurs de 𝐵 et 𝜇. Et avant de multiplier ces valeurs, regardons la valeur de 𝐵 et convertissons-la de millitesla en tesla. On effectue cela pour que les unités de 𝐵 puissent s’annuler avec les unités de tesla inverse dans la valeur de 𝜇. Puisqu’il y a 1000 millitesla dans un tesla, cela signifie que pour convertir millitesla en tesla, on va déplacer la virgule de trois crans vers la gauche.

Maintenant, on a l’intensité du champ magnétique exprimée en unités de tesla. Et ces unités s’annulent avec les unités de tesla inverse de la valeur de 𝜇. On remarque que cela nous donne des unités finales de micronewton-mètres. On souhaite donner notre réponse finale au micronewton-mètre près. En calculant ce produit, on obtient un résultat de 125 micronewton-mètres. Le couple sur la boucle de transport de courant change donc par cette valeur en raison de sa rotation.

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