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Vidéo de question : Détermination de l’accélération d’un objet en mouvement sur un plan incliné rugueux. Mathématiques

Un objet est placé au sommet d'un plan rugueux incliné dont la longueur est de 259 cm et la hauteur de 84 cm. L'objet commence à glisser vers le bas du plan. Sachant que le coefficient de frottement est 0,29, calculez l'accélération de l'objet. Prenez 𝑔 = 9,8 m / s².

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Transcription de vidéo

Un objet est posé au sommet d’un plan incliné rugueux de longueur 259 centimètres et de hauteur 84 centimètres. L’objet commence à glisser sur le plan incliné. Supposant que le coefficient de frottement est 0,29, déterminez l’accélération de l’objet. Prenez 𝑔 égale à 9,8 mètres par seconde au carré.

D’accord, disons que celui-ci est notre plan incliné rugueux. Et on nous dit qu’il a une hauteur de 84 centimètres et une longueur de 259 centimètres. Et on a cet objet ici, qui commence à glisser du sommet du plan vers le bas. Supposant que le coefficient de frottement entre l’objet et le plan incliné, on va l’appeler 𝜇, est égal à 0,29, on veut calculer l’accélération de cet objet.

Pour commencer à résoudre cette question, on doit rappeler la deuxième loi de Newton sur le mouvement, qui dit que la force résultante agissant sur un objet est égale à la masse de cet objet multipliée par son accélération. En revenant à notre schéma, si on établit les directions positives 𝑥 et 𝑦 à notre schéma, on peut dire que la deuxième loi de Newton s’applique dans ces deux directions. En d’autres termes, si on considère toutes les forces agissant sur notre objet dans la direction 𝑥, alors la somme de ces forces est égale à la masse de l’objet multipliée par son accélération dans cette direction. C’est bien ce que l’on veut calculer. Alors considère les forces agissant sur l’objet lorsqu’il glisse sur le plan.

Tout d’abord, on sait qu’il y a la force gravitationnelle, 𝑚 fois 𝑔. On sait aussi qu’il y a aussi une force normale ou de réaction, on va l’appeler 𝑅, qui agit sur l’objet perpendiculairement au plan. Et puis, il y a une force de frottement, qu’on va appeler 𝐹. On sait que cette force agit vers le haut du plan incliné parce que l’objet glisse vers le bas de sa surface et que le frottement s’oppose toujours au sens du mouvement. Ce sont donc nos trois forces. Et si on considère spécifiquement les composantes 𝑥 de ces forces, alors on voit que le poids, 𝑚 fois 𝑔, a une composante 𝑥 et que la force de frottement est entièrement dans la direction 𝑥.

Alors, sur notre schéma, si on appelle cet angle ici 𝜃, c’est-à-dire 𝜃 est l’angle d’inclinaison, alors cet angle ici dans ce triangle rectangle est 𝜃 lui aussi. Cela signifie que la composante 𝑥 du poids est 𝑚 fois 𝑔 fois le sinus de cet angle qu’on a appelé 𝜃. Et de cela, on soustrait la force de frottement 𝐹, qui nous donne la masse de notre objet multipliée par son accélération dans la direction 𝑥. Rappelons que c’est l’accélération de l’objet le long de la direction du plan, ce qu’on a appelé 𝑎 indice 𝑥, qu’on veut calculer Pour nous aider à le faire, rappelons que, en général, la force de frottement pour un objet en mouvement, qu’on a appelé 𝐹, est égale à ce qu’on appelle le coefficient de frottement 𝜇 multiplié par la force de réaction agissant sur cet objet.

Dans ce cas, on nous donne 𝜇, 0,29. Mais pour calculer 𝑅, il est utile de regarder notre schéma. Considérons que cette force de réaction 𝑅 est entièrement dans ce qu’on a appelé la direction 𝑦 positive. On sait aussi que l’objet n’accélère pas dans cette dimension lorsqu’il glisse vers le bas du plan. Cela nous indique que la composante 𝑦 de la force de poids, soulignée ici, doit avoir la même intensité mais dans le sens opposé à la force de réaction 𝑅. Cette valeur sera égale à la force du poids 𝑚 fois 𝑔 fois le cosinus de l’angle qu’on a appelé 𝜃.

Tout cela signifie qu’on peut prendre le coefficient de frottement 𝜇, le multiplier par 𝑚 fois 𝑔 fois le cos de 𝜃, et substituer dans l’expression de la force de frottement 𝐹. La raison laquelle on peut faire cela est que 𝑚𝑔 fois le cos de 𝜃 est égal en intensité à la force de réaction. Cela nous donne cette équation pour les forces dans la direction 𝑥 de notre schéma. Et remarquez quelque chose d’intéressant ici. La masse de notre objet 𝑚 apparaît dans les trois termes. Puisque la masse n’est pas nulle, on peut diviser les deux côtés par ce facteur et l’annuler. Si on factorise ensuite l’accélération due à la pesanteur dans les deux termes sur le côté gauche, on obtient cette expression. Et rappelons qu’on a les valeurs de 𝑔 et 𝜇. Donc, tout ce qu’on doit faire pour calculer 𝑎 indice 𝑥 est substituer les valeurs de sin et de cos de 𝜃.

En regardant notre schéma, on peut dire que le sinus de l’angle qu’on a appelé 𝜃 est égal au côté opposé qui a une hauteur de 84 centimètres divisée par l’hypoténuse d’une longueur de 259 centimètres. Et puis pour calculer le cosinus de cet angle, on utilise le théorème de Pythagore pour obtenir que la longueur de ce côté de notre triangle rectangle est égale à la racine carrée de 259 au carré moins 84 au carré en unités de centimètres. Cela est égal à 245 centimètres, ce qui signifie que le cos de 𝜃 est égal à 245 divisé par 259.

Si on substitue ensuite les valeurs de 𝜇 et 𝑔 sans leurs unités, lorsque on évalue cette expression, on trouve le résultat 0,49. Ce résultat a des unités de mètres par seconde au carré. Et donc on conclut que l’accélération de cet objet vers le bas du plan incliné est de 0,49 mètres par seconde au carré.

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