Le portail a été désactivé. Veuillez contacter l'administrateur de votre portail.

Vidéo de question : Déterminer le sinus et la tangente des angles dans des triangles rectangles où l’hypoténuse est égal à deux fois le côté opposé Mathématiques

Trouvez sin 𝐴 et tan 𝐴, sachant que 𝐴𝐵𝐶 est un triangle rectangle en 𝐵, où 2𝐶𝐵 = 𝐴𝐶.

03:16

Transcription de vidéo

Trouvez sinus 𝐴 et tangente 𝐴, sachant que 𝐴𝐵𝐶 est un triangle rectangle en 𝐵, où deux 𝐶𝐵 est égal à 𝐴𝐶.

On nous donne des informations sur ce triangle rectangle 𝐴𝐵𝐶, alors commençons d’abord par le tracer. Le triangle est rectangle en B, donc en d’autres termes, les côtés 𝐴𝐵 et 𝐵𝐶 sont perpendiculaires. On nous dit aussi que deux 𝐶𝐵 est égal à 𝐴𝐶, alors posons que le côté 𝐶𝐵 est égal à 𝑥 unités de longueur. Ainsi, le côté 𝐴𝐶 doit être égal à deux 𝑥 unités de longueur. Maintenant, nous allons calculer le sinus de 𝐴 et la tangente de 𝐴. Nous savons que pour un triangle rectangle avec un angle intérieur 𝜃, les rapports trigonométriques sinus et tangente sont tels que le sinus de 𝜃 est égal à la longueur du côté opposé divisée par la longueur de l’hypoténuse. De plus, tangente de 𝜃 est égal au côté opposé divisé par le côté adjacent.

Maintenant, nous essayons de trouver le sinus de 𝐴 et la tangente de 𝐴, donc le sinus et la tangente de cet angle-ci. Concernant cet angle intérieur, nous connaissons la longueur du côté opposé. Il s’agit de la longueur de 𝐵𝐶 ; soit 𝑥 unités. L’hypoténuse dans ce triangle a une longueur de deux 𝑥 unités. Cela signifie que nous pouvons calculer assez rapidement la valeur de sinus de 𝐴. Cependant, nous devons travailler un peu plus pour trouver la valeur de tangente de 𝐴.

Commençons par trouver la valeur de sinus de 𝐴. Cela donne la longueur du côté opposé divisée par la longueur de l’hypoténuse. Soit 𝑥 divisé par deux 𝑥. Nous pouvons bien sûr simplifier cette expression en divisant par 𝑥. Ainsi, 𝑥 divisé par deux 𝑥 se simplifie en un demi et sinus 𝐴 est égal à un demi. Bien sûr, tangente de 𝐴, est égal au côté opposé divisé par le côté adjacent. Trouvons à présent l’expression de la longueur du côté adjacent.

Pour ce faire, nous utiliserons le théorème de Pythagore. Cela nous dit que la somme des carrés des deux côtés les plus courts de notre triangle doit être égale au carré de l’hypoténuse. En d’autres termes, 𝑥 au carré plus 𝐴𝐵 au carré doit être égal à deux 𝑥 au carré. Deux 𝑥 le tout au carré est égal à quatre 𝑥 au carré. Nous allons donc maintenant mettre en évidence 𝐴𝐵 au carré en soustrayant 𝑥 au carré des deux membres. 𝐴𝐵 au carré est égal alors à trois 𝑥 au carré, ce qui signifie que 𝐴𝐵 est égal à la racine carrée positive de trois 𝑥 au carré. Cela peut être écrit également comme la racine carrée de trois multipliée par 𝑥. Ainsi, la longueur de 𝐴𝐵 est égale à racine de trois 𝑥 unités.

Nous sommes maintenant en mesure de trouver une expression pour tangente de 𝐴. Puisqu’il est égal au côté opposé divisé par le côté adjacent, cela donne 𝑥 divisé par racine de trois 𝑥. Nous pouvons encore simplifier en divisant par 𝑥, ce qui nous donne un sur racine de trois. Ensuite, nous pouvons simplifier davantage en rationalisant le dénominateur de cette fraction. Pour ce faire, nous multiplions le numérateur et le dénominateur par la racine carrée de trois. On sait que racine de trois fois racine de trois est égal à trois. Nous obtenons donc que tangente de 𝐴 est égal à racine de trois sur trois. Nous avons trouvé les valeurs de sinus de 𝐴 et de tangente de 𝐴. sinus 𝐴 est égal à un demi et tangente 𝐴 est égal à la racine de trois sur trois.

Nagwa utilise des cookies pour vous garantir la meilleure expérience sur notre site. En savoir plus sur notre Politique de Confidentialité.