Vidéo : Prouver que la racine carrée de deux est irrationnelle

Dans cette vidéo, nous apprenons comment utiliser la technique de la preuve par l’absurde pour prouver que la racine carrée de deux est un nombre irrationnel. Cela veut dire qu’il est impossible d’exprimer la racine carrée de deux sous la forme d’une fraction avec des entiers relatifs au numérateur et au dénominateur.

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Transcription de vidéo

Dans cette vidéo, nous allons démontrer que la racine carrée de deux est un nombre irrationnel, c’est-à-dire un nombre que l’on peut écrire sous la forme d’une fraction dont le numérateur et le dénominateur sont des nombres entiers.

En retour, si l’on essaie de l’écrire sous forme décimale, on aura à compter une infinité de nombre décimaux, mais on en parlera davantage dans une minute.

Tout d’abord, parlons de quelques philosophes grecs, Pythagore et Hippase de Métaponte. Je crois que vous avez tous entendu parler de Pythagore grâce au théorème pythagoricien, ou le théorème de Pythagore comme certains l’appellent.

Selon le théorème, dans un triangle rectangle, le carré de la longueur de l’hypoténuse égale la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés. Vous connaissez peut-être cela comme 𝑎 au carré plus 𝑏 au carré égale 𝑐 au carré. Et ça paraît trop facile car nous l’avions appris durant les premières années de notre parcours scolaire. Pourtant ça posait un grand problème à l’époque de Pythagore, il y a environ 2500 années.

L’accord général assume que le théorème pythagoricien n’a pas été écrit par Pythagore, même s’il est devenu l’un de ses plus grands succès. Il y a plein d’histoires, de mythes et de légendes qui tournent autour de Pythagore. Et quoi que vous disiez de lui, quelqu’un d’autre dira probablement autre chose.

Le problème c’est qu’aucun de ses ouvrages n’a survécu au passage du temps. Et beaucoup de choses écrites de lui par d’autres personnes sont contradictoires. Il semble avoir été un personnage un peu controversé. Il se disait philosophe, amoureux de la sagesse. Il commença un mouvement d’adeptes nommés les Pythagoriciens. Ils étaient très discrets. Et il y avait beaucoup de références à leurs croyances en les pouvoirs mystiques et la pureté des nombres.

L’un des adeptes de Pythagore s’appelait Hippase de Métaponte, bien qu’il n’ait pas entièrement précis s’il suivait Pythagore lui-même ou s’il était simplement adepte du mouvement pythagoricien. Peut-être qu’il n’était même pas né au cours de la vie de Pythagore. Mais en tout cas, d’après les anciens dessins et œuvres d’arts qui ont survécu, apparemment la chose que tous les deux avaient en commun était la barbe. Ces barbes étaient très à la mode à l’époque. Peu de gens contrediraient cela.

Bon, pour mettre au point ce discours décousu, il y a une histoire d’après laquelle Hippase de Métaponte avait développé une preuve que certains nombres sont irrationnels, contredisant fâcheusement la police pythagoricienne et la nature divine des nombres. On signala quelque temps plus tard qu’Hipasse s’était noyé dans la mer.

Quelques personnes disent qu’il avait choisi un mauvais moment pour révéler la vérité des nombres irrationnels à ces camarades pythagoriciens alors qu’ils étaient à bord d’un bateau en pleine mer. Et ils agirent rapidement pour camoufler l’affaire. Mais cela ne tint pas la route, car si c’était le cas, alors comment l’aurait-on appris ?

Hippase avait apparemment montré que pour construire un dodécaèdre à l’intérieur d’une sphère on a besoin des nombres rationnels. Mais une plus simple méthode aurait été d’utiliser un triangle rectangle isocèle ayant deux côtés d’une unité de longueur, et puis le théorème de Pythagore pour montrer que, dans ce cas, la longueur de l’hypoténuse est égale à la racine carrée de deux unités.

Nous voyons donc surgir le besoin d’une simple situation impliquant la racine carrée de deux. Comment peut-on montrer que c’est un nombre irrationnel ? Alors, voyons d’abord ce que sont les nombres rationnels et irrationnels.

Un demi est aussi appelé un rapport de un à deux. Il consiste en une fraction avec un nombre entier ou un entier relatif au numérateur, un dans ce cas, et un autre nombre entier ou entier relatif au dénominateur, deux dans ce cas. Voilà essentiellement ce qu’est un nombre rationnel, une fraction avec des entiers relatifs en haut et en bas.

Rappelez-vous que si le numérateur et le dénominateur ont tous les deux un diviseur commun, on peut donc simplifier la fraction en les divisant par ce même diviseur et en obtenant une fraction équivalente. Par exemple, deux sur quatre est un nombre rationnel. Mais on peut diviser le haut et le bas par deux pour obtenir une fraction équivalente, un demi. Un demi est une forme plus simple de deux quarts. Et c’est aussi un nombre rationnel.

Maintenant on peut mettre n’importe quel entier relatif au numérateur et un autre au dénominateur afin de former un nombre rationnel. Maintenant jetons un coup d’œil sur quelques nombres rationnels. Un tiers et deux tiers, y a-t-il un autre nombre rationnel dont la valeur est comprise entre eux ? Un et un demi tiers ne compte pas car un et demi n’est pas un entier relatif.

Mais une fraction équivalente à un tiers est deux sixièmes, simplement le double du numérateur et du dénominateur. Et une fraction équivalente à deux tiers est quatre sixièmes, à nouveau le double du numérateur et du dénominateur. Alors au lieu d’un tiers et de deux tiers, nous avons deux sixièmes et quatre sixièmes. Et il est évident que trois sixièmes serait compris entre eux. Et on peut le simplifier à un demi en divisant le numérateur et le dénominateur par trois.

On peut maintenant appliquer cette technique à deux nombres rationnels quelconques pour déterminer un autre nombre rationnel compris entre eux. Et on peut aller jusqu’à l’infini en obtenant des différences de plus en plus petites. Alors il commence à paraître qu’il faut parvenir à rendre n’importe quel nombre rationnel. Alors, qu’est-ce qu’un nombre irrationnel ?

C’est un nombre que l’on ne peut pas représenter exactement par une fraction avec des entiers relatifs au numérateur et au dénominateur. Par exemple, on utilise le théorème de Pythagore pour montrer qu’il existe une valeur appelée racine carrée de deux. Maintenant amusons-nous un peu avec ce concept pour voir si l’on peut prouver que c’est impossible de trouver une paire d’entiers relatifs pour le numérateur et le dénominateur afin de représenter cette valeur.

Supposons tout d’abord que la racine carrée de deux est rationnelle et qu’il y a deux entiers relatifs — appelons-les 𝑎 et 𝑏 — que l’on peut utiliser comme le numérateur et le dénominateur pour représenter cette valeur. Nous avons donc racine carrée de deux égale 𝑎 sur 𝑏, où 𝑎 et 𝑏 sont des entiers relatifs et 𝑏 n’égale pas zéro car un nombre divisé par zéro est indéfini.

Choisissons aussi 𝑎 et 𝑏 de sorte qu’ils représentent une version de fraction complètement simplifiée de la racine de deux. Apparemment, il y a toute une famille de fractions équivalentes : deux 𝑎 sur deux 𝑏, trois 𝑎 sur trois 𝑏, et ainsi de suite. Mais nous allons choisir 𝑎 et 𝑏 pour former la version de la fraction complètement simplifiée afin qu’ils n’aient aucun diviseur commun.

Et il y a une autre implication. Si 𝑎 est un nombre pair, il faut alors que 𝑏 soit impair. Et si 𝑏 est pair, alors 𝑎 doit être impair. S’ils étaient tous les deux pairs, ils seraient alors tous les deux multiples de deux. Et deux serait un diviseur commun. On pourrait ainsi annuler et simplifier la fraction. Mais on choisit 𝑎 et 𝑏 soigneusement pour qu’ils n’aient aucun diviseur commun.

Bon, nous avons racine carrée de deux égale 𝑎 sur 𝑏. Maintenant mettons les deux membres de l’équation au carré. Cela nous donne deux égale 𝑎 au carré sur 𝑏 au carré. Maintenant je peux multiplier les deux membres de mon équation par 𝑏 au carré pour que les 𝑏 au carré s’annulent au membre droit., ce qui nous donne deux 𝑏 au carré égale 𝑎 au carré.

Rappelle-toi cependant qu’au membre gauche 𝑏 est un entier relatif. Donc 𝑏 fois 𝑏, 𝑏 au carré, c’est un entier multiplié par un entier qui doit également être un entier. Le membre gauche est donc deux fois un nombre entier. Et un nombre entier multiplié par deux est un nombre pair.

Maintenant au membre droit, nous avons 𝑎, un entier relatif, multiplié par lui-même. Nous avons donc un nombre entier fois un nombre entier. Et le seul moyen d’obtenir un résultat pair lorsque vous multipliez deux nombres entiers est si l’un de ces nombres est pair. Et puisque nous parlons de 𝑎 fois lui-même, alors 𝑎 est forcément pair.

Voyons cette logique d’une manière un peu plus détaillée. On peut dire qu’un nombre pair est simplement un nombre entier multiple de deux. Choisissons donc une lettre pour représenter un nombre entier quelconque. Disons 𝑚. On peut ainsi dire que deux 𝑚 est un nombre pair.

Dites-moi le nombre pair que vous voulez et je vais choisir la valeur convenable de 𝑚 qui donne ce nombre. Celle-ci sera la moitié de la valeur du nombre pair que vous voulez. Vous voulez huit, je vais choisir 𝑚 égale quatre. Donc deux 𝑚 est le nombre pair, huit dans ce cas. Deux 𝑚 est une expression représentant un nombre qu’on sait qu’il doit être pair.

On peut maintenant représenter un autre nombre pair en attribuant la lettre 𝑛 à un autre nombre entier. Deux 𝑛 est donc un autre nombre pair. Maintenant multiplions nos deux nombres pairs l’un par l’autre, deux 𝑚 fois deux 𝑛. Et puisque la multiplication est associative, on peut écrire cela comme deux fois 𝑚 fois deux fois 𝑛.

Et puisque deux 𝑚 et 𝑛 sont tous des nombres entiers, on sait que 𝑚 fois deux fois 𝑛 sera également un nombre entier. Et cela veut dire que deux fois 𝑚 fois deux fois 𝑛 est égal à deux fois un nombre entier, qui est forcément un nombre pair. Ainsi, si nous multiplions n’importe quels deux nombres pairs l’un par l’autre, alors le résultat est certainement pair.

Les nombres pairs et les nombres impairs alternent à travers tous les nombres entiers. Un est impair, deux est pair, trois est impair, quatre est pair, cinq est impair, six est pair, et ainsi de suite jusqu’à l’infini. Et cela veut dire que puisque deux 𝑚 est un nombre pair, alors deux 𝑚 plus un doit être le nombre impair qui le suit. De même, deux 𝑛 est un nombre pair. Deux 𝑛 plus un doit donc être le nombre impair qui le suit.

Voyons d’autres combinaisons de multiplication de nombres pairs par des nombres impairs pour savoir si l’on peut avoir comme résultat un nombre pair. Par exemple, si nous voulons multiplier un nombre pair par un nombre impair, alors nous pouvons faire deux 𝑚 fois deux 𝑛 plus un. Et encore une fois, grâce à l’associativité, nous pouvons écrire cela comme deux fois 𝑚 fois deux fois 𝑛 plus un.

Et encore une fois, nous avons des entiers relatifs à l’intérieur des parenthèses. Nous avons donc deux fois un entier relatif. Un nombre pair fois un nombre impair nous donne un nombre pair. Et l’inverse est également vrai. Si nous avions un nombre impair fois un nombre pair, nous obtenons aussi un nombre pair.

Enfin, essayons de multiplier un nombre impair par un nombre pair. En multipliant chaque terme dans la première parenthèse par chaque terme dans la deuxième, on obtient deux 𝑚 fois deux 𝑛 plus deux 𝑚 fois un plus un fois deux 𝑛 plus un fois un, puis simplifié, quatre 𝑚𝑛 plus deux 𝑚 plus deux 𝑛 plus un.

Et si l’on factorise ces trois premiers termes avec le deux comme facteur commun, on obtient deux fois deux 𝑚𝑛 plus 𝑚 plus 𝑛 le tout plus un. Deux, 𝑚 et 𝑛 sont tous des entiers relatifs. Et nous les additionnons et les multiplions ensemble. Le contenu de ces parenthèses sera donc des entiers relatifs. Cela nous donne deux fois un entier relatif, et c’est un nombre pair. Le résultat sera donc un nombre pair plus un, ce qui donne un nombre impair. Et cela veut dire que si je multiplie n’importe quels deux nombres impairs l’un par l’autre, alors le résultat est un autre nombre impair.

Retournons à notre problème, nous avions deux 𝑏 au carré égale 𝑎 au carré. Nous avions dit que le membre gauche est forcément un nombre pair puisque 𝑏 est un entier relatif. Et le membre droit est égal à 𝑎 au carré, ce qui est un nombre multiplié par lui-même. Nous avons donc soit avec un nombre pair fois un nombre pair, soit un nombre impair fois un nombre impair. Mais le seul moyen d’obtenir un résultat pair d’avoir 𝑎 pair. Cela donc est certainement vrai.

Bien, rappelez-vous que j’avais dit que si vous voulez un nombre pair spécifique, je peux le diviser par deux et exprimer votre nombre comme deux fois la moitié de ce nombre. Faisons donc la même chose avec le nombre pair 𝑎. Appelons la moitié de 𝑎 𝑐. Cela veut dire que 𝑐 égale un demi .

Autrement dit, deux 𝑐 égale 𝑎. Et on peut remplacer 𝑎 par deux 𝑐 dans notre équation, ce qui veut dire que deux 𝑏 au carré égale deux 𝑐 le tout au carré, et que deux 𝑐 le tout au carré veux dire deux 𝑐 fois deux 𝑐. Nous savons alors maintenant que deux 𝑏 au carré égale quatre 𝑐 au carré.

Maintenant je peux diviser les deux côtés par deux pour éliminer les deux ici. Et j’obtiens deux et un ici. Autrement dit, 𝑏 au carré est égal à deux fois 𝑐 au carré. Puis au membre droit, nous avions dit que 𝑐 est un entier relatif. Donc 𝑐 au carré, un entier multiplié par un entier donne aussi un entier. Et cette expression ici, deux fois un entier donne forcément un résultat pair.

Puis en utilisant ici la même logique que nous avions utilisé ici pour prouver que 𝑎 est forcément pair, on peut dire que 𝑏 est aussi forcément pair. Mais attendez un instant ! Nous avions dit au début que si 𝑎 est un nombre pair, alors 𝑏 doit être impair. Et si 𝑏 est un nombre pair, alors 𝑎 doit être impair. Mais nous venons de prouver que 𝑎 est forcément pair et que 𝑏 est forcément pair. C’est une contradiction.

Nous avons montré que 𝑏 est en même temps impair et pair. Cela veut dire que notre hypothèse de départ était fausse. Nous avions supposé avoir deux entiers relatifs 𝑎 and 𝑏 que l’on peut utiliser comme le numérateur et le dénominateur dans une fraction dans sa forme la plus simple représentant la valeur de la racine carrée de deux.

Mais cette hypothèse nous mène à deux conclusions disjointes. 𝑏 est un nombre pair et 𝑏 est un nombre impair. Donc l’hypothèse était sans doute fausse. Il n’y a pas deux entiers relatifs 𝑎 et 𝑏 que l’on peut utiliser comme le numérateur et le dénominateur dans une fraction dans sa forme la plus simple représentant la valeur de la racine carrée de deux. Nous appelons ce genre de preuve « preuve par l’absurde ». Au lieu de prouver que quelque chose est vraie dans tous les cas, on prouve que supposer que c’est vrai nous mène à une situation absurde. Donc impossible qu’elle soit vraie. C’est une puissante technique.

Les nombres irrationnels sont connus depuis très longtemps. Et les gens n’ont plus tendance à se déranger comme les pythagoriciens l’étaient quand ils les ont découverts. Mais si jamais vous montrez cette preuve d’irrationalité de la racine carrée de deux à quiconque, vous devez peut-être vous assurer d’être sur la terre ferme en le faisant, juste au cas où.

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