Transcription de la vidéo
Simplifiez cinq moins 𝑖 puissance 83 multiplié par cinq moins 𝑖 puissance 69 multiplié par cinq moins 𝑖 puissance 61.
Cette question demande de simplifier le produit de trois nombres complexes. Cependant, on voit que ces trois produits ont en commun quelque chose d’intéressant. Ils contiennent 𝑖 élevé à une très grande puissance. On serait tenté de commencer à distribuer les parenthèses immédiatement. Ici, on va d’abord simplifier le contenu des parenthèses.
Pour ce faire, rappelons d’abord que 𝑖 est défini comme la racine carrée de moins un. Ceci donne une propriété très utile. On peut se demander ce qui se passe si on met au carré les deux côtés de cette égalité. On obtient 𝑖 au carré égale moins un. Ce qui peut immédiatement servir à simplifier les trois facteurs.
Commençons par moins 𝑖 puissance 83. En écrivant ce produit en entier, en simplifiant et en utilisant les propriétés des exposants, on voit qu’il est égal à moins un multiplié par 𝑖 puissance 82 multiplié par 𝑖. Cependant, 𝑖 puissance 82 peut s’écrire en fonction de 𝑖 au carré. En écrivant le produit en entier et en simplifiant, ou bien en utilisant les propriétés des exposants, on voit que 𝑖 puissance 82 égale 𝑖 au carré élevé à la puissance 41. Cependant, on sait que 𝑖 au carré égale moins un. Ainsi, cela se simplifie pour donner moins un fois moins un puissance 41 multiplié par 𝑖.
Maintenant, on peut calculer cette expression en utilisant le fait que moins un élevé à une puissance paire est égal à un et moins un élevé à une puissance impaire est égal à moins un. Ainsi, moins un puissance 41 vaut moins un. Ensuite, multiplions par moins un, on obtient un. Ainsi, toute cette expression se simplifie et donne 𝑖. Retenons ce résultat. Jusque là, on a montré que moins une fois 𝑖 puissance 83 égale 𝑖.
On peut maintenant faire de même pour le deuxième terme. Cette fois, on va simplifier moins une fois 𝑖 puissance 69. Réécrivons d’abord ceci comme moins une fois 𝑖 puissance 68 multiplié par 𝑖. Ensuite, utilisons à nouveau le fait que 𝑖 puissance 68 égale 𝑖 au carré puissance 34 pour réécrire l’expression. Ensuite, il suffit d’utiliser le fait que 𝑖 au carré est égal à moins un. Ce qui donne moins un fois moins un puissance 34 multiplié par 𝑖. Puisque moins un puissance 34 égale moins un élevé à une puissance paire, ceci donne un. Ainsi, tout se simplifie et donne simplement moins 𝑖.
Encore une fois, retenons ce résultat. Moins une fois 𝑖 à la puissance 69 est égal à moins 𝑖. Maintenant, effaçons et procédons de même pour le dernier facteur. Cette fois, on veut simplifier moins une fois 𝑖 puissance 61. Commençons par écrire ceci comme moins un fois 𝑖 puissance 60 multiplié par 𝑖. Ensuite, réécrivons 𝑖 puissance 60 comme 𝑖 au carré puissance 30. Ensuite, utilisons le fait que 𝑖 au carré est égal à moins un pour écrire ceci comme moins un fois moins un puissance 30 multiplié par 𝑖. Bien sûr, moins un puissance 30 est égal à un. Ainsi, cela se simplifie et donne moins 𝑖.
Retenons cette dernière simplification car nous en aurons besoin pour la suite. Effaçons un peu le tableau, on est maintenant prêts à simplifier l’expression. Tout d’abord, commençons par l’expression complète. On a cinq moins 𝑖 puissance 83 multiplié par cinq moins 𝑖 puissance 69 multiplié par cinq moins 𝑖 puissance 61.
Maintenant, utilisons nos trois simplifications. Elles nous permettent d’écrire le premier facteur cinq plus 𝑖, le deuxième facteur cinq moins 𝑖 et le troisième facteur également cinq moins 𝑖. Cependant, rappelez-vous que la question demande de simplifier cette expression. On pourrait la simplifier en distribuant chaque parenthèse.
On pourrait le faire facteur par facteur, par distributivité. Mais il existe une méthode plus simple. On remarque que les deux premiers facteurs de cette expression sont la factorisation d’une différence de carrés. Ils sont de la forme 𝑥 plus 𝑦 multiplié par 𝑥 moins 𝑦. On sait que cela donne 𝑥 au carré moins 𝑦 au carré. Ainsi, au lieu de faire la multiplication complète, on sait déjà que le produit est cinq au carré moins 𝑖 au carré. Ce qui donne cinq au carré moins 𝑖 au carré multiplié par cinq moins 𝑖.
Ensuite, on peut simplifier en se rappelant que 𝑖 au carré égale moins un. Ceci donne 25 moins moins un, le tout multiplié par cinq moins 𝑖. Bien sûr, retrancher moins un revient à ajouter un. 25 plus un égale 26. On obtient donc 26 multiplié par cinq moins 𝑖. Enfin, distribuons le 26 dans les parenthèses. Comme 26 fois cinq égale 130, on obtient notre réponse finale, 130 moins 26𝑖.
On a donc pu simplifier l’expression cinq moins 𝑖 puissance 83 multiplié par cinq moins 𝑖 puissance 69 multiplié par cinq moins 𝑖 puissance 61. On a montré que cela donne 130 moins 26𝑖.
