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Vidéo de question : Calcul du produit vectoriel de vecteurs Mathématiques

Si 𝐀 = ⟨−5, 0, 1⟩ et 𝐁 = ⟨3, 1, −3⟩, déterminez 𝐀 × (𝐀 − 2𝐁).

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Transcription de vidéo

Si le vecteur 𝐀 égal à moins cinq, zéro, un et le vecteur 𝐁 égal à trois, un, moins trois, trouvez 𝐀 vectoriel 𝐀 moins deux 𝐁.

Dans cette question, nous cherchons le produit vectoriel de deux vecteurs. Nous rappelons qu’en calculant le produit vectoriel, nous trouvons un vecteur qui est orthogonal aux deux vecteurs initiaux . Soient deux vecteurs tridimensionnels 𝐂 et 𝐃, leur produit vectoriel est égal au déterminant de cette matrice de dimension trois par trois, dont la première ligne se compose des vecteurs unitaires 𝐢, 𝐣 et 𝐤. La deuxième ligne se compose des composantes du vecteur 𝐂, notées 𝐂 indice 𝑥, 𝐂 indice 𝑦 et 𝐂 indice 𝑧. La dernière ligne de la matrice se compose des composantes du vecteur 𝐃.

Dans cette question, nous cherchons le produit vectoriel du vecteur 𝐀 par le vecteur 𝐀 moins deux 𝐁. Nous commençons par calculer le vecteur deux 𝐁. Pour ce faire, nous multiplions le vecteur 𝐁 par le scalaire ou la constante deux. En multipliant chacune des composantes par le scalaire deux nous donne le vecteur six, deux, moins six.

Nous devons retrancher ce vecteur du vecteur 𝐀. Pour soustraire deux vecteurs, nous soustrayons simplement les composantes correspondantes, ici moins cinq moins six, zéro moins deux et un moins moins six. Ceci nous donne le vecteur moins 11, moins deux, sept.

Nous pouvons maintenant chercher le produit vectoriel du vecteur 𝐀 par le vecteur 𝐀 moins deux 𝐁. Ceci sera égal au déterminant de la matrice de dimension trois par trois 𝐢, 𝐣, 𝐤, moins cinq, zéro, un, moins 11, moins deux, sept. Nous calculons le déterminant d’une matrice de dimension trois par trois en trois étapes. D’abord, nous multiplions le vecteur unitaire 𝐢 par le déterminant de la matrice de dimension deux par deux zéro, un, moins deux, sept. Ceci nus donne le vecteur unitaire 𝐢 multiplié par zéro moins moins deux, soit deux 𝐢.

Ensuite, nous multiplions l’opposé du vecteur unitaire 𝐣 par le déterminant de la matrice de dimension deux par deux moins cinq, un, moins 11, sept. C’est égal à moins 𝐣 multiplié par moins 35 moins moins 11, ce qui est égal à 24𝐣.

Enfin, nous multiplions le vecteur unitaire 𝐤 par le déterminant de la matrice de dimension deux par deux, moins cinq, zéro, moins 11, moins deux. C’est égal à 10𝐤.

Le déterminant de notre matrice de dimension trois par trois est deux 𝐢 plus 24𝐣 plus 10𝐤. Nous en concluons que c’est le produit vectoriel du vecteur 𝐀 par le vecteur 𝐀 moins deux 𝐁. La réponse est deux 𝐢 plus 24𝐣 plus 10𝐤. Ceci pourrait également être écrit sous forme de composantes : deux, 24, 10.

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