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Vidéo de la leçon : Résonance dans les circuits à courant alternatif Physique

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à calculer la fréquence de résonance et le facteur Q de circuits résistifs-inductifs simples.

19:50

Transcription de vidéo

Dans cette vidéo, nous allons découvrir le phénomène de résonance dans les circuits à courant alternatif. La résonance se produit parce que les réactances inductive et capacitive dépendent de la fréquence de la tension et du courant alternatifs. Commençons par examiner la réactance qui généralise l’effet d’agir contre le courant exercé par les résistances en incluant également les inductances et les condensateurs.

Une résistance a la propriété spéciale que son opposition au courant est constant. Autrement dit, la valeur de la résistance, généralement indiquée par le symbole 𝑅, n’est pas affectée par la force, la direction ou la fréquence de la tension dans le circuit. Il en va de même pour les inductances et les condensateurs des circuits à courant alternatif. Cependant, la capacité 𝐶 et l’inductance 𝐿 ne dépendent pas de la tension, l’opposition de l’inductance et du condensateur au courant dépend de la fréquence de la tension dans le circuit.

Pour un condensateur, plus il est chargé, plus il s’oppose au courant. Plus la force électromotrice change rapidement de direction, c’est-à-dire plus sa fréquence est élevée, moins le condensateur se charge avant de se décharger à nouveau. Donc, aux fréquences plus élevées, le condensateur a une réactance plus faible. Une inductance, en revanche, crée un champ magnétique. Et plus le champ magnétique est fort, moins l’inductance s’oppose au courant. Cependant, ce champ magnétique prend du temps à se développer. Ainsi, plus la fréquence de la force électromotrice est élevée, plus le champ magnétique sera faible avant de changer de direction. En conséquence, la réactance inductive sera plus grande à des fréquences plus élevées.

En utilisant des formules, la réactance capacitive est 1 divisé par la fréquence angulaire de la tension et du courant multiplié par la capacité. La réactance inductive est la fréquence angulaire de la tension et du courant multipliée par l’inductance. Notez que ces deux formules donnent la relation qualitative correcte entre la réactance et la fréquence. La réactance capacitive est inversement proportionnelle à la fréquence, tandis que la réactance inductive est directement proportionnelle à la fréquence.

Ainsi, aux fréquences plus élevées, la réactance inductive est plus grande et la réactance capacitive est plus petite. 𝜔, la fréquence angulaire, est définie comme deux 𝜋 radians multiplié par la fréquence régulière, ou cycles par seconde. Nous utilisons 𝜔 car cela nous aide à écrire ces formules simplement sans avoir à utiliser des facteurs de 2 𝜋.

La dernière chose que nous devons nous rappeler est le fait que pour un circuit avec des composantes à la fois inductives et capacitives, la réactance totale n’est pas simplement la somme des réactances inductive et capacitive. En effet, les inductances et les condensateurs introduisent également un déphasage entre le courant et la fem. Les condensateurs font que le courant est en avance par rapport à la fem, tandis que les inductances font que le courant est en retard par rapport à la fem. L’effet net de ces différents déphasages est que la combinaison correcte pour la réactance totale est la différence entre les deux réactances, la réactance inductive moins la réactance capacitive.

La résonance sera possible dans un circuit à courant alternatif précisément parce que la réactance totale est une différence et pas une somme. Voyons donc comment la différence entre les réactances inductive et capacitive peut conduire à une résonance. Considérons un circuit simple alimenté par une source de tension alternative avec une inductance et un condensateur connectés en série. Bien que nous limitions notre discussion aux circuits en série, les mêmes principes s’appliquent toujours aux circuits en parallèle.

Dans tous les cas, la réactance totale du circuit est la réactance inductive moins la réactance capacitive. Rappelez-vous que les réactances inductive et capacitive dépendent de la fréquence dans des sens opposés. Donc, si nous faisons varier la fréquence, disons, depuis de très faible valeur jusqu’à des valeurs très élevées, la réactance capacitive passera de très grandes valeurs à de très petites. Mais la réactance inductive passera de très petites valeurs à de très grandes. Cela suggère qu’il peut y avoir une fréquence au milieu de notre gamme pour laquelle la réactance inductive et la réactance capacitive sont égales.

Si les réactances inductive et capacitive sont égales, leur différence, la réactance totale, est nulle. À ce moment-là, la combinaison inductance et condensateur ne fournit aucune opposition au courant à cette fréquence. Pour trouver la fréquence spéciale, nous allons commencer par mettre en équation les formules dépendant de la fréquence pour les réactances inductive et capacitive. Pour trouver 𝜔, nous allons multiplier les deux côtés par 𝜔 sur 𝐿. Du côté gauche, le 𝐿 de notre formule annule le 𝐿 au dénominateur. Et du côté droit, le 𝜔 de notre formule annule le 𝜔 au numérateur. Cela nous laisse avec 𝜔 au carré égal à 1 divisé par 𝐿𝐶.

Si nous continuons et prenons la racine carrée des deux côtés de cette égalité, nous obtenons que la fréquence angulaire par rapport à la réactance totale est nulle et égale à 1 divisé par la racine carrée de l’inductance multipliée par la capacité du condensateur. Nous écrivons souvent 𝜔 avec un indice zéro lorsque nous nous référons spécifiquement à cette fréquence.

Le phénomène des réactances inductives et capacitives qui s’annulent exactement à une fréquence particulière est appelé résonance. Et 𝜔 zéro, la fréquence à laquelle la résonance se produit, est appelée la fréquence de résonance. Parce qu’à la résonance, la réactance totale est nulle, l’inductance et le condensateur de notre circuit se comportent comme des fils conducteurs. Mais cela signifie qu’à la résonance, le circuit idéal que nous avons tracé est en fait un court-circuit. S’il s’agissait d’un véritable circuit, un court-circuit pourrait causer de graves dommages aux divers composants et à la source de tension alternative. Cependant, s’il s’agissait d’un véritable circuit, il y aurait une certaine résistance inhérente aux composants et aux fils.

Modélisons donc cette situation réelle avec un circuit idéal composé d’une inductance, d’un condensateur et d’une résistance. Ici, nous avons un circuit avec une résistance, une inductance et un condensateur, tous en série, piloté par une source de tension alternative. Puisque ce circuit comporte des éléments à la fois résistifs et réactifs, l’opposition totale au courant est donnée par la combinaison de la résistance et de la réactance, appelée impédance. La grandeur de l’impédance est la racine carrée de la somme des carrés de la résistance et de la réactance totale. Nous devons utiliser cette combinaison spéciale car les composants réactifs changent la phase entre la fem et le courant, mais ce n’est pas le cas pour les composants résistifs.

Voyons donc ce qui arrive à l’impédance lorsque nous amenons le circuit à la fréquence de résonance. Rappelons que lors de la résonance, les réactances inductive et capacitive sont égales. La réactance totale est donc nulle. Ainsi, l’impédance à la résonance est la racine carrée de 𝑅 au carré plus zéro, qui est la racine carrée de 𝑅 au carré, qui est simplement 𝑅. Donc, à la résonance, l’impédance du circuit est identique à la résistance.

Cela nous montre plusieurs choses importantes. Premièrement, comme la contribution réactive totale à l’impédance est nulle à la résonance, aucun déphasage n’est introduit entre le courant et la fem. Deuxièmement, pour un circuit général à courant alternatif, la loi d’Ohm nous dit que la tension est égale à l’impédance du courant. À la résonance, cela devient : tension égale au courant multiplié par la résistance, ce qui est la loi d’Ohm pour les circuits à courant alternatif purement résistifs.

De plus, en regardant notre formule pour la grandeur de l’impédance, la réactance totale au carré est toujours positive, sauf si elle est nulle. Ainsi, lors de la résonance, lorsque la réactance totale est nulle, l’impédance est minimale. En revenant à la loi d’Ohm, si la tension maximale ne change pas, alors, avec l’impédance qui diminue, le courant de crête augmente. Ainsi, une impédance minimale implique un courant de crête maximal.

Maintenant que nous avons vu ce qui se passe lorsque nous amenons le circuit à la fréquence de résonance, voyons ce qui se passe lorsque nous amenons le circuit à des fréquences autres que la fréquence de résonance. Pour voir comment le courant se comporte à des fréquences autres que la fréquence de résonance, nous utilisons un graphique avec la fréquence angulaire sur l’axe horizontal et l’amplitude relative du courant sur l’axe vertical. L’amplitude relative du courant à une fréquence angulaire particulière est obtenue en divisant le courant de crête à cette fréquence par le courant de crête à la fréquence de résonance.

Ainsi, par définition, l’amplitude relative du courant à la fréquence de résonance est de 1. Si à une autre fréquence le courant avait une valeur de crête égale à la moitié de la valeur du courant à la fréquence de résonance, alors l’amplitude relative du courant à cette fréquence serait la moitié. L’utilisation de l’amplitude relative au lieu de l’amplitude absolue permet à cette discussion d’être très générale et elle s’applique donc à une grande variété de phénomènes résonnants.

En revenant à nos circuits électroniques en particulier, à des fréquences de plus en plus grandes par rapport à la fréquence de résonance, la réactance inductive devient de plus en plus grande. Et donc l’amplitude relative du courant est de plus en plus petite. De même, à des fréquences de plus en plus petites par rapport à la fréquence de résonance, la réactance capacitive est de plus en plus grande. Et donc, encore une fois, l’amplitude relative du courant est de plus en plus petite.

Ce graphique que nous avons tracé a en fait une forme typique pour une grande variété de systèmes résonnants. L’une des caractéristiques les plus frappantes de ce graphique est le pic aigu à la fréquence de résonance. Nous disons que le pic est aigu parce qu’il est particulièrement étroit. Ce que cela signifie physiquement, c’est que le courant dans notre circuit sera beaucoup plus grand lorsqu’il est amené à la fréquence de résonance que lorsqu’il est amené à des fréquences un peu inférieures ou supérieures à la fréquence de résonance.

Pour de nombreuses applications, des équipements de mesure aux communications radio, il est utile de quantifier la forme du pic de résonnance. En effet, plus le pic est aigu, plus notre système réagit de manière sélective à une fréquence particulière. De manière équivalente, plus le pic est aigu, plus nos systèmes réagissent aux changements pour de plus petits décalages par rapport à la fréquence de résonance.

Le nombre que nous utilisons pour quantifier la forme du pic est appelé facteur 𝑄 ou facteur de qualité de la résonance. Pour les circuits en série comme celui que nous avons envisagé, le facteur Q est égal à la fréquence angulaire de la résonance multipliée par l’inductance divisée par la résistance. Il existe un certain nombre d’autres façons de définir le facteur 𝑄. Peu importe comment nous le définissons, des facteurs 𝑄 plus grands correspondent à des courbes graphiques qui sont plus aiguës autour de la fréquence de résonance. Et des facteurs 𝑄 plus petits correspondent à des courbes graphiques plus largement réparties autour de la fréquence de résonance.

En fait, il s’avère que la largeur du pic à environ la moitié de la valeur maximale est approximativement la fréquence de résonance divisée par le facteur de qualité. Cela fournit un très bon moyen de déterminer 𝑄 puisque simplement en regardant le graphique, nous pouvons déterminer la largeur du pic et également sa fréquence, qui est la fréquence de résonance. De plus, si nous connaissons trois des grandeurs figurant dans notre formule complète, nous pouvons utiliser cette formule pour trouver la quatrième.

Bon, maintenant que nous avons vu la fréquence de résonance et le facteur 𝑄, exerçons-nous avec quelques exemples.

Un circuit se compose d’une résistance, d’un condensateur et d’une inductance qui sont tous en série. Une source de tension alternative est connectée au circuit et un courant alternatif est généré. Comment la fréquence de résonance du circuit change-t-elle si on augmente la valeur de l’inductance? (a) La fréquence de résonance diminue. (b) La fréquence de résonance augmente. (c) La fréquence de résonance ne change pas.

La question nous demande de trouver la fréquence de résonance d’un circuit à courant alternatif. Plus précisément, pour un circuit en série avec une résistance, un condensateur et une inductance, la question nous demande ce qui se passera si on augmente la valeur de l’inductance. Voici un schéma de notre circuit. Nous avons la source de tension alternative, une résistance 𝑅, une inductance 𝐿 et un condensateur de capacité 𝐶. Nous utiliserons le symbole 𝜔 pour la fréquence angulaire de la source de tension.

Rappelons que la résonance se produit dans ce circuit lorsque la différence entre les réactances inductive et capacitive, c’est-à-dire la réactance totale, est nulle. En d’autres termes, la résonance se déroule lorsque les réactances inductive et capacitive sont égales. Nous avons également les formules qui relient la fréquence angulaire à la réactance, la réactance inductive étant la fréquence angulaire multipliée par l’inductance et la réactance capacitive est 1 divisé par la fréquence angulaire multiplié par la capacité. Si nous mettons ces expressions en équation, pour la fréquence de résonance, nous avons 𝜔 zéro 𝐿 égal à 1 divisé par 𝜔 zéro 𝐶, avec 𝜔 zéro la fréquence angulaire de résonance.

Si nous résolvons cette égalité pour 𝜔 zéro, nous constatons que la fréquence angulaire de résonance est égale à 1 divisé par la racine carrée de l’inductance multipliée par la capacité du condensateur. Cette formule relie la fréquence de résonance à l’inductance, alors utilisons-la pour répondre à notre question. À mesure que l’inductance augmente, la racine carrée de l’inductance multipliée par la capacité augmente. Le dénominateur de notre fraction devient donc plus grand, ce qui signifie que la valeur de la fraction globale devient plus petite. Mais la valeur de cette fraction est juste la fréquence de résonance. Ainsi, à mesure que l’inductance augmente, la fréquence de résonance diminue. Fait intéressant, nous pouvons voir dans notre formule que la fréquence de résonance diminue également si nous augmentons la capacité du condensateur. Mais si nous changeons la valeur de la résistance, la fréquence de résonance ne change pas.

Voyons maintenant un autre exemple qui traite de la résonance d’une manière plus quantitative.

Quelle est la fréquence de résonance du circuit illustré sur le schéma?

Le circuit se compose d’une source de tension alternative connectée à une combinaison en série d’une résistance de 35 Ω, d’une inductance de 7,5 henry et d’un condensateur de 350 microfarad. Et on nous demande de trouver la fréquence de résonance de ce circuit. Rappelons que la réactance inductive dans un circuit est la fréquence angulaire de la source de tension multipliée par l’inductance. Et la réactance capacitive est 1 divisée par la fréquence angulaire de la source de tension multiplié par la capacité. À la résonance, ces deux réactances sont égales.

Si nous appelons la fréquence angulaire de résonance 𝜔 zéro, alors nous avons 𝜔 zéro 𝐿 égal à 1 sur 𝜔 zéro 𝐶, que nous pouvons résoudre pour 𝜔 zéro. Lorsque nous résolvons cette équation pour 𝜔 zéro, nous constatons que la fréquence angulaire de résonance est égale à 1 divisé par la racine carrée de l’inductance multiplié par la capacité du condensateur. Maintenant, c’est une formule pour la fréquence angulaire, mais nous ne cherchons que la fréquence régulière. Nous devons donc utiliser la relation selon laquelle la fréquence angulaire est 2 𝜋 multiplié par la fréquence régulière.

Très bien, nous allons donc utiliser notre définition de la fréquence angulaire dans notre équation pour la fréquence angulaire de résonance. Nous avons : 2 fois 𝜋 multiplié par la fréquence de résonance égale à 1 divisé par la racine carrée de l’inductance multiplié par la capacité. Pour obtenir cette expression dans la forme finale dont nous avons besoin, nous divisons simplement les deux côtés par 2 𝜋. Sur le côté gauche, 2 𝜋 divisé par 2 𝜋 donne 1, et il ne nous reste que 𝑓 zéro. Sur le côté droit, les 2 𝜋 deviennent juste une partie du dénominateur de notre fraction. Cela nous laisse avec la formule finale dont nous avons besoin. La fréquence de résonance est égale à 1 divisé par 2 𝜋 multiplié par la racine carrée de l’inductance, en henry, multiplié par la capacité, en farads.

Alors maintenant, nous devons simplement insérer les valeurs. Nous avons une inductance en henry. C’est 7,5 Henry. Cependant, notre capacité est donnée en microfarads au lieu de farads. Pour convertir en farads, rappelez-vous qu’il y a un million de microfarads par farad. En d’autres termes, un microfarad équivaut à 10 moins 6 farads. Puisque nous avons 350 microfarads, notre capacité est équivalente à 350 fois 10 moins 6 farads.

En utilisant notre inductance et notre capacité dans notre formule pour la fréquence de résonance, cela nous donne 1 divisé par 2 𝜋 multiplié par la racine carrée de 350 fois 10 moins 6 multiplié par 7,5 henry. Il s’avère que la racine carrée de 1 farad multiplié par 1 henry est 1 seconde. Nous pouvons donc réécrire le dénominateur avec des unités de secondes.

Maintenant, 1 divisé par des secondes représentent des hertz, utilisés pour la fréquence. Maintenant, nous avons donc une expression pour la fréquence de résonance. C’est un nombre multiplié par des hertz, ce qui est la bonne unité pour la fréquence. Alors maintenant, tout ce que nous avons à faire est de trouver ce nombre avec une calculatrice. Lorsque nous faisons cela, nous constatons que l’expression numérique entière est approximativement égale à 3,1. La fréquence de résonance de ce circuit est donc de 3,1 hertz. Il convient de noter que la résistance de 35 Ω n’a joué aucun rôle dans notre calcul de la fréquence de résonance.

Maintenant que nous avons vu quelques exemples, passons en revue certains des points clés de cette leçon. Dans cette vidéo, nous avons considéré un circuit composé d’une source de tension alternative avec une résistance, une inductance et un condensateur, tous connectés en série. Parce que les réactances inductive et capacitive dépendent tous deux de la fréquence de la source de tension alternative, nous avons vu qu’il était possible de trouver une fréquence où la réactance totale, inductive moins la réactance capacitive, est nulle.

En comparant les formules dépendant de la fréquence pour les réactances inductives et capacitives, nous avons pu trouver que la fréquence angulaire de résonance est égale à 1 divisé par la racine carrée de l’inductance multiplié par la capacité du condensateur. Lorsque la fréquence de la tension est égale à la fréquence de résonance, l’effet net des inductances et des condensateurs est de ne fournir aucune opposition au courant dans le circuit. Cela signifie que la seule opposition au courant provient de la résistance, et que l’impédance est donc la résistance. C’est également la valeur minimale de l’impédance car, hors résonance, la contribution réactive à l’impédance est supérieure à zéro. En conséquence, selon la loi d’Ohm, si l’impédance est minimale, l’amplitude du courant est maximale.

Enfin, nous avons examiné comment l’amplitude relative du courant dépend de la fréquence angulaire. Nous avons vu qu’une courbe avec l’amplitude relative sur l’axe vertical et la fréquence angulaire sur l’axe horizontal montre un pic aigu à la fréquence de résonance. Cela correspond à la même amplitude de la tension de commande, ce qui donne un courant beaucoup plus grand à la fréquence de résonance qu’aux fréquences inférieure et supérieure. Pour quantifier la forme du pic de résonnance, nous définissons le facteur 𝑄 ou facteur de qualité comme la fréquence angulaire de résonance multipliée par l’inductance divisée par la résistance. Des valeurs plus grandes de 𝑄 correspondent à des résonances avec des pics plus aigus, et des valeurs plus petites de 𝑄 correspondent à des résonances avec des pics plus larges.

Enfin, nous avons déclaré, mais n’avons pas prouvé, que nous pouvions déterminer la valeur de 𝑄 à partir d’un graphique comme celui-ci en mesurant la largeur du pic et également l’emplacement du pic, qui est la fréquence de résonance. Donc, en connaissant trois des valeurs de notre formule pour le facteur de qualité, nous pouvons déterminer la valeur de la quatrième grandeur.

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