Vidéo question :: Déterminer l’intervalle auquel appartient la variable d’une équation du second degré connaissant la nature de ses racines Mathématiques

Transcription de la vidéo

Sachant que les racines de l’équation quatre 𝑥 au carré moins 12𝑥 plus 𝑘 égal zéro sont réelles et distinctes, déterminez l’intervalle qui contient 𝑘.

Bien pour nous aider à résoudre ce problème, nous savons que nous allons utiliser le discriminant. Et c’est parce que nous avons des informations sur les racines. On nous dit que les racines de l’équation sont réelles et distinctes. Et nous pouvons utiliser le discriminant lorsque nous avons une équation du second degré sous la forme 𝑎𝑥 au carré plus 𝑏𝑥 plus 𝑐 égal zéro. Et quand nous avons cela, le discriminant est 𝑏 au carré moins quatre 𝑎𝑐. Et ce qui se passe c’est qu’on obtient certaines conditions sur nos racines.

Les trois conditions que nous avons pour nos racines sont, tout d’abord, 𝑏 au carré moins quatre 𝑎𝑐 est inférieur à zéro. Ainsi notre discriminant est inférieur à zéro. Ceci signifie donc que nous n’aurons pas de racines réelles. Si 𝑏 au carré moins quatre 𝑎𝑐 est égal à zéro, nous avons une racine double. Et si 𝑏 au carré moins quatre 𝑎𝑐 est supérieur à zéro, alors nos racines sont réelles et distinctes.

Eh bien, pour ce problème, nous nous intéressons à la troisième situation, où notre discriminant est supérieur à zéro, parce que ce que nous recherchons ce sont des racines réelles et distinctes. Bien, pour notre problème, nous avons déjà l’équation du second degré sous la forme 𝑎𝑥 au carré plus 𝑏𝑥 plus 𝑐 est égal à zéro. Donc ce que nous pouvons faire c’est identifier 𝑎, 𝑏 et 𝑐. Donc 𝑎, qui est le coefficient de 𝑥 au carré, va valoir quatre ; 𝑏 vaut moins 12 et 𝑐 va être égal à plus 𝑘.

Donc, comme nous savons que les racines sont réelles et distinctes, nous pouvons écrire une inéquation. Et cette inéquation est moins 12 le tout au carré moins quatre multiplié par quatre multiplié par 𝑘 supérieur à zéro. Donc, ceci donne 144 moins 16𝑘 est supérieur à zéro. Donc, ce que nous pouvons faire avec l’inégalité c’est ajouter 16𝑘 à chaque membre. Et lorsque nous faisons cela, nous obtenons 144 est supérieur à 16𝑘. Et puis si nous divisons chaque membre par 16, ce que nous allons obtenir est neuf supérieur à 𝑘. Eh bien, comme nous avons l’inégalité neuf est supérieur à 𝑘, cela signifie que 𝑘 peut prendre n’importe quelle valeur inférieure à neuf.

Nous pouvons donc dire que l’intervalle auquel appartient 𝑘 est compris entre moins l’infini et neuf mais n’inclut pas moins l’infini ou neuf. Et nous l’avons montré ici avec notre notation d’intervalle parce que nous avons utilisé des parenthèses, nous utilisons des parenthèses quand cela signifie que les valeurs ne sont pas incluses. Cependant, si nous avions utilisé des crochets, ceci aurait signifié que les valeurs pouvaient également être incluses.