Transcription de la vidéo
L'équation vectorielle d'une droite est définie par 𝐫 égale moins un, trois plus 𝑡 fois cinq, deux. Lequel des systèmes d'équations paramétriques suivants représente cette droite ? S'agit-il de l'option (A) 𝑥 égale deux plus cinq 𝑡, et 𝑦 égale trois moins 𝑡 ? L'option (B) 𝑥 égale deux plus trois 𝑡, et 𝑦 égale cinq moins 𝑡. L'option (C) 𝑥 égale cinq moins 𝑡, et 𝑦 égale deux plus trois 𝑡. L'option (D) 𝑥 égale trois plus deux 𝑡, et 𝑦 égale moins un plus cinq 𝑡. Ou est-ce l'option (E) 𝑥 égale moins un plus cinq 𝑡, et 𝑦 égale trois plus deux 𝑡 ?
On nous donne une équation vectorielle d'une droite et on nous demande de l'utiliser pour identifier laquelle des cinq systèmes d'équations paramétriques données représente également la droite. Commençons par rappeler la définition d’une équation vectorielle d'une droite. Il s'agit d'une équation de la forme 𝐫 égale 𝐫 zéro plus 𝑡 fois 𝐝. 𝐫 zéro est le vecteur position de tout point de la droite, et 𝐝 est un vecteur non nul parallèle à la droite, appelé vecteur directeur.
Dans le cas de notre équation vectorielle d'une droite, on voit que 𝐫 zéro est le vecteur moins un, trois et 𝐝 est le vecteur cinq, deux. Ce qui nous donne des informations sur la droite. On peut noter que la droite doit passer par le point moins un, trois et que la droite doit être parallèle au vecteur cinq, deux.
Il existe plusieurs façons de répondre à cette question. La première consiste à utiliser l'équation vectorielle de la droite pour établir les équations paramétriques de la droite. On peut le faire en évaluant l'expression vectorielle du membre de droite de l'équation. On évalue le produit en multipliant chaque composante par le scalaire 𝑡. On obtient moins un, trois plus cinq 𝑡, deux 𝑡. On additionne maintenant les vecteurs en additionnant leurs composantes correspondantes. On obtient le vecteur moins un plus cinq 𝑡, trois plus deux 𝑡.
Pour toute valeur réelle du paramètre 𝑡, cela nous donne le vecteur position d'un point sur la droite. On peut appeler ce vecteur 𝑥, 𝑦. Pour que les vecteurs soient égaux, il faut que toutes leurs composantes correspondantes soient égales. En égalisant les composantes, nous obtenons alors que 𝑥 égale moins un plus cinq 𝑡 et 𝑦 égale trois plus deux 𝑡, c'est-à-dire deux équations paramétriques représentant la droite. On voit que cela correspond à l'option (E).
Il faut noter que nous avons seulement montré qu'il s'agit d'un système d'équations paramétriques possible pour la droite. En effet, tout comme pour les équations vectorielles, il existe une infinité de choix pour le système d'équations paramétriques d'une droite. Généralement, le système d'équations paramétriques aura la forme suivante : 𝑥 égale 𝑥 zéro plus 𝑎𝑡 et 𝑦 égale 𝑦 zéro plus 𝑏𝑡, où 𝑥 zéro, 𝑦 zéro est un point quelconque de la droite et le vecteur 𝑎, 𝑏 est un vecteur directeur quelconque de la droite.
On peut utiliser cela pour trouver autres systèmes d'équations paramétriques de la droite ou montrer qu'un système d'équations paramétriques donné ne représente pas la droite. Par exemple, on peut vérifier les vecteurs directeurs des quatre autres options. On voit qu'aucun de ces vecteurs n'est parallèle au vecteur cinq, deux. Cela signifie qu'aucune de ces options ne représente la même droite que l'équation vectorielle de la droite. Par conséquent, la réponse est l'option (E). Un système d'équations paramétriques pour la droite est : 𝑥 égale moins un plus cinq 𝑡 et 𝑦 égale trois plus deux 𝑡.
