Vidéo question :: Simplifier des expressions impliquant des puissances de nombres complexes Mathématiques

Transcription de la vidéo

Simplifiez l’expression un moins 𝑖 au cube moins un plus 𝑖 fois un moins 𝑖 plus un plus 𝑖 au cube.

Pour simplifier cette expression, nous allons commencer par développer chacun des trois termes. Nous commençons par un moins 𝑖 au cube. Nous pourrions réécrire cela un moins 𝑖 fois un moins 𝑖 fois un moins 𝑖, puis développer les deux premières expressions entre parenthèses et multiplier le résultat par un moins 𝑖.

Cependant, nous pouvons aussi utiliser la formule du binôme de Newton, d’après laquelle pour tout entier positif 𝑛, nous avons 𝑎 plus 𝑏 puissance 𝑛 égale la somme de 𝑘 égale zéro à 𝑛 de 𝑘 parmi 𝑛 fois 𝑎 puissance 𝑛 fois 𝑏 puissance 𝑛 moins 𝑘. Ainsi, si nous utilisons cela pour développer moins 𝑖 au cube, nous obtenons un premier terme de un au cube. Puis le deuxième terme du développement est un parmi trois fois un au carré fois moins 𝑖 puissance un.

Le troisième terme est deux parmi trois fois un fois moins 𝑖 au carré. Enfin, le quatrième terme est moins 𝑖 au cube. Nous pouvons maintenant simplifier. Un au cube est égal à un et un parmi trois est égal à trois. Ainsi, notre deuxième terme devient trois fois un fois moins 𝑖, ce qui est égal à moins trois 𝑖. Deux parmi trois est égal à trois, notre troisième terme devient donc trois fois 𝑖 au carré. Cependant, nous savons bien sûr que 𝑖 au carré est égal à moins un. Ainsi, notre troisième terme est simplement moins trois.

Notre quatrième terme est moins 𝑖 au cube. Cependant, 𝑖 au cube peut s’écrire 𝑖 au carré fois 𝑖 et nous savons que 𝑖 au carré est égal à moins un, cela nous donne donc moins moins un fois 𝑖, ce qui est simplement égal à 𝑖. Nous pouvons maintenant finir de simplifier notre expression. Nous trouvons alors que un moins 𝑖 au cube égale moins deux moins deux 𝑖.

Faisons maintenant la même chose pour le deuxième terme de notre expression d’origine. Il s’agit de un plus 𝑖 fois un moins 𝑖. Nous pourrions développer cette expression en utilisant la double distributivité. Seulement, nous pouvons aussi utiliser le fait que le produit d’un nombre complexe et de son conjugué est égal à la somme du carré de sa partie réelle et du carré de sa partie imaginaire. Nous rappelons que pour obtenir le conjugué d’un nombre complexe, il suffit de changer le signe de sa partie imaginaire ; le conjugué de un plus 𝑖 est donc un moins 𝑖. La partie réelle de notre nombre complexe est un et sa partie imaginaire est le coefficient de 𝑖, qui est aussi égal à un. Ainsi, un plus 𝑖 fois un moins 𝑖 est égal à un au carré plus un au carré, ce qui fait simplement deux.

Passons maintenant au troisième terme. Il s’agit de un plus 𝑖 au cube. Nous allons à nouveau utiliser la formule du binôme de Newton. Nous obtenons un au cube plus un parmi trois fois un au carré fois 𝑖 plus deux parmi trois fois un fois 𝑖 au carré plus 𝑖 au cube. Nous simplifions dans un premier temps en un plus trois 𝑖 plus trois 𝑖 au carré plus 𝑖 au cube. Puis, nous allons à nouveau utiliser le fait que 𝑖 au carré est égal à moins un. Le troisième terme devient donc moins trois. Le quatrième terme devient moins 𝑖.

Nous finissons de simplifier et nous obtenons un plus 𝑖 au cube égale moins deux plus deux 𝑖. Nous pouvons maintenant remplacer les trois termes de notre expression d’origine par nos résultats. Cela nous donne moins deux moins deux 𝑖 moins deux plus moins deux plus deux 𝑖. Nous pouvons voir que nous avons moins deux 𝑖 et plus deux 𝑖, ce qui fait zéro. Notre expression devient donc moins deux moins deux moins deux, ce qui égal à moins six. Par conséquent, lorsque nous simplifions un moins 𝑖 au cube moins un plus 𝑖 fois un moins 𝑖 plus un plus 𝑖 au cube, nous obtenons moins six.