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Vidéo de la leçon : Moment d’une force en deux dimensions par rapport à un point : Vecteurs Mathématiques

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à calculer le vecteur moment par rapport à un point d’un système de forces coplanaires agissant sur un corps.

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Transcription de vidéo

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à calculer le vecteur moment par rapport à un point d’un système de forces coplanaires agissant sur un corps.

Nous savons qu’une force ou un système de forces peuvent avoir un effet de rotation sur un corps. Et on mesure cet effet par le moment de la force ou du système de forces par rapport à un point. Dans le plan, le moment d’une force 𝐅 par rapport à un point est une grandeur scalaire dont la valeur absolue est égale au produit de l’intensité de la force et de la distance perpendiculaire 𝑑 entre ce point et la droite d’action de la force. On détermine ensuite le signe de ce moment selon si l’effet de rotation est dans le sens horaire ou antihoraire.

Par convention un moment dans le sens inverse des aiguilles d’une montre est défini comme positif, ce qui signifie qu’un moment dans le sens des aiguilles d’une montre est négatif. Maintenant, bien que cette définition fonctionne parfaitement dans le plan, nous souhaiterions l’étendre à une définition du moment dans l’espace en trois dimensions. Et afin de préserver la notion d’orientation, c’est-à-dire de sens de rotation, le moment sous forme vectorielle est défini comme suit.

Le moment du vecteur force 𝐅 par rapport à 𝑂 est défini comme le produit vectoriel du vecteur 𝐫 et du vecteur 𝐅, où 𝐫 est le vecteur position du point d’application de la force. Avec cette définition, le repère est choisi de telle sorte que l’origine coïncide avec le point par rapport auquel on calcule le moment. Mais ce n’est bien sûr pas nécessairement le cas. Supposons plutôt que nous souhaitions calculer le moment d’une force 𝐅 par rapport à un point 𝑃 qui n’est pas l’origine. Si 𝐴 est le point d’application de la force, nous devons remplacer le vecteur 𝐫 par le vecteur 𝐏𝐀.

Le moment de la force par rapport à 𝑃 est donc égal au produit vectoriel du vecteur 𝐏𝐀 et du vecteur 𝐅. Avec cette définition en tête, montrons comment utiliser cette formule pour calculer le vecteur moment d’une force par rapport à un point.

Sachant que la force 𝐅 égale à moins cinq 𝐢 plus y𝐣 agit au point 𝐴 sept, trois, calculez le moment de la force 𝐅 par rapport au point 𝐵 sept, moins deux.

Afin de calculer le moment par rapport à un point d’une force en deux dimensions, rappelons deux des formules que nous pouvons utiliser. Si on souhaite déterminer le moment d’une force 𝐅 par rapport à l’origine, alors on calcule le produit vectoriel du vecteur 𝐫 et du vecteur 𝐅, où 𝐫 est le vecteur position du point d’application de la force. Dans ce cas cependant, nous souhaitons déterminer le moment de la force agissant en 𝐴 par rapport au point 𝐵.

Et nous devons donc nous réorienter dans le repère. Nous remplaçons pour cela le vecteur 𝐫 par le vecteur 𝐁𝐀. Il s’agit maintenant du vecteur moment par rapport au point 𝐵 de la force 𝐅 agissant au point 𝐴, le produit vectoriel de 𝐁𝐀 et du vecteur 𝐅.

Commençons donc par déterminer le vecteur 𝐁𝐀. On trouve celui-ci en soustrayant le vecteur 𝐎𝐁 au vecteur 𝐎𝐀. Et le point 𝐴 a les coordonnées sept, trois. Donc, dans l’espace en trois dimensions, il a le vecteur position sept, trois, zéro. De même, le vecteur 𝐎𝐁 est égal à sept, moins deux, zéro. On soustrait ensuite simplement les composantes correspondantes. Et on trouve que le vecteur 𝐁𝐀 est le vecteur zéro, cinq, zéro. En observant alors le vecteur force 𝐅, nous constatons que nous pouvons le représenter comme le vecteur moins cinq, y, zéro.

En représentant chaque vecteur sous cette forme, nous pouvons calculer le produit vectoriel de 𝐁𝐀 et 𝐅. On rappelle alors que le produit vectoriel peut être considéré comme un déterminant. Pour le vecteur 𝐚 de composantes 𝑎 un, 𝑎 deux, 𝑎 trois et le vecteur 𝐛 de composantes 𝑏 un, 𝑏 deux, 𝑏 trois, leur produit vectoriel est égal au déterminant de la matrice trois fois trois de coefficients 𝐢, 𝐣, 𝐤, 𝑎 un, 𝑎 deux, 𝑎 trois, 𝑏 un, 𝑏 deux, 𝑏 trois.

Donc dans ce cas, le produit vectoriel de 𝐁𝐀 et 𝐅 est égal au déterminant de la matrice 𝐢, 𝐣, 𝐤, zéro, cinq, zéro, moins cinq, y, zéro. Pour calculer le déterminant de cette matrice trois fois trois, on multiplie 𝐢 par le déterminant de la matrice deux fois deux obtenue en éliminant la première ligne et la première colonne. On multiplie ensuite moins 𝐣 par le déterminant de la matrice de coefficients zéro, zéro, moins cinq, zéro. Puis on ajoute 𝐤 fois le déterminant de la dernière matrice deux fois deux. Cela donne donc 𝐢 fois cinq fois zéro moins zéro fois y moins 𝐣 fois zéro fois zéro moins zéro fois moins cinq plus 𝐤 fois zéro fois y moins cinq fois moins cinq. Et cela se simplifie très bien par 25𝐤.

L’inconnue y s’annule lorsque l’on calcule le produit vectoriel. Et nous avons ainsi calculé le moment de la force 𝐅 par rapport au point 𝐵. Il est simplement égal à 25𝐤.

Dans cet exemple, nous avons calculé le vecteur moment d’une force en deux dimensions par rapport à un point. Et il est intéressant de noter que le vecteur résultant ne contient qu’une composante en 𝐤 et que ses composantes en 𝐢 et 𝐣 sont nulles. Cela n’est toutefois pas vraiment surprenant si nous pensons à la propriété géométrique d’un produit vectoriel. Le vecteur résultant du produit vectoriel de deux vecteurs est orthogonal à ces deux vecteurs. Donc comme le moment est défini comme le produit vectoriel de deux vecteurs, il doit être orthogonal à ceux-ci. Et puisque les vecteurs 𝐁𝐀 et 𝐅 appartiennent au plan 𝑥𝑦, m doit être orthogonal à ce plan. En d’autres termes, il est colinéaire au vecteur unitaire 𝐤 dans le repère en trois dimensions.

Comme ce sera toujours le cas dans cette vidéo, nous pouvons simplifier le calcul du produit vectoriel en utilisant le produit vectoriel en deux dimensions. Soient deux vecteurs en deux dimensions 𝑎, 𝑏 et 𝑐, 𝑑. Leur produit vectoriel en deux dimensions est défini par 𝑎𝑑 moins 𝑏𝑐 fois le vecteur unitaire 𝐤. Comme cela est beaucoup plus rapide à calculer, nous allons utiliser cette formule pour trouver le produit vectoriel de deux vecteurs dans la suite de cette leçon.

Dans l’exemple précédent, nous avons calculé le vecteur moment de la force. Mais qu’en est-il de sa norme ? Eh bien, puisque le moment est égal au produit vectoriel du vecteur 𝐫 et du vecteur 𝐅, alors sa norme est la norme de ce produit vectoriel. Cette norme est cependant aussi égale au produit de l’intensité de la force et de 𝑑, la distance perpendiculaire entre le point par rapport auquel on calcule le moment et la droite d’action de cette force. Et cela est vraiment utile car nous pouvons ainsi obtenir une formule permettant de calculer cette distance perpendiculaire. Elle est égale à la norme du moment divisée par l’intensité de la force.

Dans le prochain exemple, nous allons utiliser cette formule pour calculer la distance perpendiculaire entre un point et la droite d’action d’une force.

Sachant que la force 𝐅 égale quatre 𝐢 moins trois 𝐣 agit au point 𝐴 trois, six, calculez le moment 𝐦 par rapport à l’origine 𝑂 de la force 𝐅. Déduisez-en la distance perpendiculaire 𝐿 entre 𝑂 et la droite d’action de la force.

On rappelle que le moment par rapport à 𝑂 d’une force 𝐅 est égal au produit vectoriel du vecteur 𝐎𝐀, où 𝐴 est le point où la force agit, et du vecteur 𝐅. Et nous pouvons simplifier cela en utilisant la définition du produit vectoriel en deux dimensions.

Puisque le point 𝐴 a les coordonnées trois, six, le vecteur 𝐎𝐀 est le vecteur trois, six. La force 𝐅 est ensuite égale à quatre 𝐢 moins trois 𝐣. Donc elle est équivalente au vecteur quatre, moins trois. Le produit vectoriel de vecteurs en deux dimensions est défini comme ceci. 𝑎, 𝑏 vectoriel 𝑐, 𝑑 égale 𝑎𝑑 moins 𝑏𝑐 fois le vecteur unitaire 𝐤. Dans ce cas, on multiplie trois par moins trois, puis on soustrait six fois quatre. Et on multiplie cela par le vecteur 𝐤. Cela se simplifie par moins 33𝐤. Donc le moment 𝐦 de cette force par rapport à l’origine est égal à moins 33𝐤.

Nous devons ensuite calculer la distance perpendiculaire 𝐿 entre l’origine et la droite d’action de la force. Et la formule que nous pouvons utiliser pour la calculer est la norme du moment divisée par l’intensité de la force. Puisque le moment est le vecteur moins 33𝐤, sa norme est simplement égale à 33. Et bien sûr, l’intensité, ou la norme, de la force 𝐅 est égale à la racine carrée de la somme des carrés de ses composantes. C’est-à-dire racine carrée de quatre au carré plus moins trois au carré, ce qui fait cinq.

Cela signifie que la distance perpendiculaire 𝐿 est égale au quotient de ces valeurs. Cela fait 33 divisé par cinq, ce qui est égal à 6,6. Par conséquent, le moment 𝐦 est égal à moins 33𝐤 et la distance 𝐿 est de 6,6 unités de longueur.

Dans les deux derniers exemples, nous avons remarqué que le moment d’une force par rapport à un point donne un vecteur colinéaire au vecteur unitaire 𝐤. En d’autres termes, il existe un scalaire 𝑐 tel que le vecteur 𝐦 est égal à 𝑐 fois 𝐤. Nous avons également observé que la norme du moment est égale à la valeur absolue du moment scalaire. Si on définit que ce moment scalaire est égal à 𝑚, cela signifie que 𝑐 est égal à 𝑚 ou moins 𝑚.

Le signe de c nous donne ensuite des informations sur le sens de rotation. Si 𝑐 est positif, le vecteur moment sort du plan, il pointe vers le haut. Et cela correspond à une rotation dans le sens inverse des aiguilles d’une montre. Et si 𝑐 est négatif, le vecteur moment rentre dans le plan, vers le bas, et nous avons une rotation dans le sens des aiguilles d’une montre.

Formalisons un peu tout cela. Soient 𝑚 le moment scalaire et 𝐦 le vecteur moment par rapport à un point d’une force ou d’un système de forces en deux dimensions. Le vecteur 𝐦 est alors égal au scalaire 𝑚 fois le vecteur unitaire 𝐤. Cette propriété nous permet d’expliquer pourquoi le vecteur moment est une extension raisonnable du moment scalaire pour une force en deux dimensions. On peut de plus le généraliser au moment par rapport à un point d’une force générale en trois dimensions car il est obtenu en calculant le produit vectoriel.

Il existe maintenant une autre propriété reliant le moment d’une force et le point auquel la force agit. La démonstration de cette propriété sort du cadre de cette vidéo. Mais vous devez savoir que le vecteur moment 𝐦 d’une force par rapport à un point est indépendant du point auquel la force agit à condition que le point d’application se situe sur la droite d’action de la force. Montrons une application de cela.

L’extrémité 𝐴 du segment AB est située en moins six, sept et 𝐴𝐵 a pour milieu le point 𝐷 moins sept, un. Sachant que la droite d’action de la force 𝐅 égale moins deux 𝐢 moins six 𝐣 passe par le milieu de 𝐴𝐵, calculez le moment de la force 𝐅 par rapport au point 𝐵.

On rappelle que le moment d’une force 𝐅 par rapport à un point 𝑂 est égal au produit vectoriel de 𝐫 et 𝐅, où 𝐫 est le vecteur position de 𝐴, qui est le point d’application de la force. Mais dans ce cas, nous ne savons pas en quel point la force agit. On nous dit cependant que la droite d’action de la force 𝐅 passe par le milieu de 𝐴𝐵. Cela nous indique donc que la droite d’action de la force passe par le point 𝐷 moins sept, un. Nous savons alors que tant que le point d’application se trouve sur la droite d’action de la force, le vecteur moment 𝐦 est indépendant de ce point. Nous pouvons donc calculer le moment en considérant que le point d’application de la force est 𝐷 moins sept, un.

Puisque nous ne calculons pas le moment par rapport à l’origine, nous devons remplacer le vecteur 𝐫 par le vecteur 𝐁𝐃. Nous calculons le moment de 𝐅 par rapport à 𝐵 en supposant que la force agit en 𝐷. Commençons donc par trouver le vecteur 𝐁𝐃. Nous savons que le milieu du segment 𝐴𝐵 est le point 𝐷. En représentant les points 𝐴 et 𝐷 sur un repère, nous pouvons montrer que la norme, c’est-à-dire la longueur, du vecteur 𝐀𝐃 doit être égale à la norme du vecteur 𝐁𝐃. Mais ces vecteurs agissent dans des sens opposés donc le vecteur moins 𝐀𝐃 est égal au vecteur 𝐁𝐃.

On peut ensuite trouver le vecteur 𝐀𝐃 en soustrayant le vecteur 𝐎𝐀 au vecteur 𝐎𝐃. Cela est égal au vecteur moins sept, un moins le vecteur moins six, sept. En soustrayant les composantes correspondantes, on obtient moins un, moins six. Le vecteur 𝐁𝐃 est ensuite l’opposé de ce vecteur. On le multiplie donc par moins un et on trouve que le vecteur 𝐁𝐃 est égal à un, six.

Et nous avons maintenant assez d’informations pour calculer le moment de notre force. Puisque la force 𝐅 est égale à moins deux 𝐢 moins six 𝐣, le moment est égal au produit vectoriel du vecteur un, six et du vecteur moins deux, moins six. Et en utilisant la définition du produit vectoriel en deux dimensions, on multiplie un par moins six, puis on soustrait six fois moins deux. Et on multiplie tout cela par le vecteur unitaire 𝐤. Eh bien, un fois moins six moins six fois moins deux égale plus six. Donc le moment de la force 𝐅 par rapport au point 𝐵 est égal à six 𝐤.

Nous avons ainsi montré comment calculer le vecteur et la norme du moment d’une force 𝐅 par rapport à un point. Nous avons de plus montré comment utiliser la définition du produit vectoriel en deux dimensions pour simplifier ce calcul et comment utiliser la formule de la norme d’un moment vectoriel pour calculer la distance 𝑑 entre le point par rapport auquel on calcule le moment et la droite d’action de la force.

Il est important de noter à ce stade que ce que nous venons de voir s’applique également à un système de forces en considérant leur somme. En particulier, le moment d’un système de forces est égal à la somme des moments individuels de chaque force de ce système par rapport au même point.

Récapitulons maintenant les points clés de cette leçon. Le vecteur moment par rapport à l’origine d’une force 𝐅 agissant en un point 𝐴 est égal au produit vectoriel de 𝐫 et 𝐅, où 𝐫 est le vecteur allant du point 𝑂 au point 𝐴, le point auquel la force agit. La norme du vecteur moment est égale à l’intensité de la force multipliée par 𝑑, la distance perpendiculaire entre le point par rapport auquel on calcule le moment et la droite d’action de cette force.

Nous avons vu que le vecteur moment 𝐦 d’une force par rapport à un point est indépendant du point d’application de la force à condition que celui-ci se situe sur sa droite d’action. Et nous avons également vu que si 𝑚 est le moment scalaire et le vecteur 𝐦 est le vecteur moment d’une force par rapport à un même point, alors le vecteur 𝐦 est égal au scalaire 𝑚 fois le vecteur unitaire 𝐤. Nous avons enfin appris que l’on peut simplifier les calculs en utilisant le produit vectoriel en deux dimensions et que le moment d’un système de forces est égal à la somme des moments individuels de chaque force de ce système par rapport au même point.

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